Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação
(*)
sobre
(\mathbb{Q}-{0})
definida por
a * b=\frac{a}{b}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a operação binária \ast sobre \mathbb{Q}-\{0\} dada por
a * b = \frac{a}{b}
é associativa e se é comutativa.
Informações dadas:
  • O conjunto é \mathbb{Q}-\{0\} (todos os racionais diferentes de zero).
  • A operação entre dois elementos a e b é a divisão a/b.
  • A operação está bem definida porque dividir um racional por outro racional não nulo resulta em racional.
Perguntas explícitas:
  • A operação é associativa? (ou seja, vale (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c\in\mathbb{Q}-\{0\}?)
  • A operação é comutativa? (ou seja, vale a*b = b*a para todos a,b\in\mathbb{Q}-\{0\}?)

Passo 2

Definição prática de associatividade (para você levar na prova): uma operação \star em um conjunto S é associativa se, para todo a,b,c\in S,
(a\star b)\star c = a\star(b\star c).
Estratégia para testar: calcular as duas expressões (a*b)*c e a*(b*c) usando a definição a*b=\dfrac{a}{b} e comparar. Se forem iguais para todos a,b,c, é associativa; se existir algum contraexemplo, não é.
Também é útil lembrar a regra de divisão por fração: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso. Em símbolos, para x,y,z\neq 0,
\frac{x}{y}\div z = \frac{x}{y}\cdot\frac{1}{z}=\frac{x}{yz},
x\div\left(\frac{y}{z}\right)=x\cdot\frac{z}{y}=\frac{xz}{y}.
Vou usar essas propriedades para desenvolver as duas expressões.

Passo 3

Calcule (a*b)*c.
Primeiro a*b=\dfrac{a}{b}.
Então
(a*b)*c = \left(\frac{a}{b}\right)*c = \frac{\frac{a}{b}}{c}.
Usando a regra \dfrac{x}{y}\div z=\dfrac{x}{y z} (veja passo anterior), temos
\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b c}.
Portanto
(a*b)*c = \frac{a}{b c}.

Passo 4

Calcule a*(b*c).
Primeiro b*c=\dfrac{b}{c}.
Então
a*(b*c)=a*\left(\frac{b}{c}\right)=\frac{a}{\frac{b}{c}}.
Agora usar a regra x\div\left(\frac{y}{z}\right)=\dfrac{xz}{y}:
\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a c}{b}.
Portanto
a*(b*c) = \frac{a c}{b}.

Passo 5

Comparação das duas expressões obtidas:
(a*b)*c = \frac{a}{b c} \qquad\text{e}\qquad a*(b*c) = \frac{a c}{b}.
Para que fossem iguais para todos a,b,c teríamos
\frac{a}{b c} = \frac{a c}{b}.
Como a\neq 0 (domínio exclui zero), podemos dividir ambos os lados por a e obter
\frac{1}{b c} = \frac{c}{b}.
Multiplicando ambos os lados por b c
1 = c^2,
ou seja c=\pm 1. Isso mostra que as duas expressões só coincidem para c=1 ou c=-1; para valores gerais de c elas são diferentes. Como associatividade exige igualdade para todos a,b,c, concluímos que a operação não é associativa.

Passo 6

Contraexemplo numérico (pra ficar bem claro e fácil de lembrar): escolha a=\;1, b=\;2, c=\;3 (todos em \mathbb{Q}-\{0\}).
Calcule (a*b)*c:
(a*b)*c=\left(\frac{1}{2}\right)*3=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}.
Calcule a*(b*c):
a*(b*c)=1*\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}.
Como \dfrac{1}{6}\neq \dfrac{3}{2}, isso confirma que a operação não é associativa.

Passo 7

Agora testamos comutatividade.
Definição prática de comutatividade: uma operação \star é comutativa se, para todo a,b,
a\star b = b\star a.
Aqui a*b=\dfrac{a}{b} e b*a=\dfrac{b}{a}. Igualando,
\frac{a}{b} = \frac{b}{a}.
Multiplicando em cruz obtemos a^2 = b^2, ou seja a=\pm b. Isso significa que a*b=b*a apenas quando a=b ou a=-b. Como comutatividade exige a igualdade para todos os pares a,b, a operação não é comutativa.

Passo 8

Contraexemplo numérico simples para comutatividade: escolha a=\;1, b=\;2.
a*b=\frac{1}{2},\qquad b*a=\frac{2}{1}=2,
e \dfrac{1}{2}\neq 2. Logo não é comutativa.

Resposta

Associativa: Não.
Comutativa: Não.

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