Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação
(*)
sobre
(\mathbb{Q}-{0})
definida por
a * b=\frac{a}{b}.
A operação
(*)
sobre
(\mathbb{Q}-{0})
definida por
a * b=\frac{a}{b}.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a operação binária
sobre
dada por
é associativa e se é comutativa.
Informações dadas:
- O conjunto é
(todos os racionais diferentes de zero). - A operação entre dois elementos
e é a divisão . - A operação está bem definida porque dividir um racional por outro racional não nulo resulta em racional.
Perguntas explícitas:
- A operação é associativa? (ou seja, vale
para todos ?) - A operação é comutativa? (ou seja, vale
para todos ?)
Passo 2
Definição prática de associatividade (para você levar na prova): uma operação
em um conjunto
é associativa se, para todo
,
Estratégia para testar: calcular as duas expressões
e
usando a definição
e comparar. Se forem iguais para todos
, é associativa; se existir algum contraexemplo, não é.
Também é útil lembrar a regra de divisão por fração: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso. Em símbolos, para
,
Vou usar essas propriedades para desenvolver as duas expressões.
Passo 3
Calcule
.
Primeiro
.
Então
Usando a regra
(veja passo anterior), temos
Portanto
Passo 4
Calcule
.
Primeiro
.
Então
Agora usar a regra
:
Portanto
Passo 5
Comparação das duas expressões obtidas:
Para que fossem iguais para todos
teríamos
Como
(domínio exclui zero), podemos dividir ambos os lados por
e obter
Multiplicando ambos os lados por
dá
ou seja
. Isso mostra que as duas expressões só coincidem para
ou
; para valores gerais de
elas são diferentes. Como associatividade exige igualdade para todos
, concluímos que a operação não é associativa.
Passo 6
Contraexemplo numérico (pra ficar bem claro e fácil de lembrar): escolha
,
,
(todos em
).
Calcule
:
Calcule
:
Como
, isso confirma que a operação não é associativa.
Passo 7
Agora testamos comutatividade.
Definição prática de comutatividade: uma operação
é comutativa se, para todo
,
Aqui
e
. Igualando,
Multiplicando em cruz obtemos
, ou seja
. Isso significa que
apenas quando
ou
. Como comutatividade exige a igualdade para todos os pares
, a operação não é comutativa.
Passo 8
Contraexemplo numérico simples para comutatividade: escolha
,
.
e
. Logo não é comutativa.
Resposta
Associativa: Não.
Comutativa: Não.
Comutativa: Não.