Teste a convergência ou divergência das séries.
∑
n=1
∞
(√n{2}−1){n}
∑
n=1
Passo 1
O enunciado pede: testar a convergência ou divergência da série
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral da série é
. - Queremos decidir se a soma dos
(para ) converge ou diverge. - Note que para
temos , e para os termos são positivos.
Passo 2
Lembrete (fato necessário para convergência): se a série
converge então obrigatoriamente
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais
tendem a um número finito
, então a diferença entre
e
é
, e essa diferença precisa tender a zero quando
. Portanto, antes de qualquer teste mais sofisticado, sempre verificamos se
; se não tende a zero, a série diverge imediatamente.
Passo 3
Vamos verificar o comportamento do termo geral
quando
.
Primeiro observe
Para grandes
temos
próximo de
, logo heurísticamente
cresce como
. Mais rigorosamente, podemos obter uma desigualdade simples válida a partir de
para
(porque
vale para
), então para
Elevando à
-ésima potência obtemos, para
,
Passo 4
Analise a desigualdade do passo anterior:
cresce sem limite quando
. Por exemplo, já que
cresce muito rápido,
. Assim, para
temos
. Logo
quando
.
Do fato do passo 2, como o termo geral
não tende a zero (na verdade tende a
), a série não pode convergir.
Passo 5
Como alternativa (e para fixar o conceito), podemos aplicar o teste da raiz: calcular
O teste da raiz diz que se este limite é maior que
(aqui é infinito), então a série diverge. Isso confirma a conclusão do passo anterior.
Resposta
Diverge