Teste a convergência ou divergência das séries.

n=1
(√n{2}−1){n}

Passo 1

O enunciado pede: testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \bigl(\sqrt{n^{2}-1}\bigr)^{n}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral da série é a_{n}=\bigl(\sqrt{n^{2}-1}\bigr)^{n}.
  • Queremos decidir se a soma dos a_{n} (para n=1,2,3,\dots) converge ou diverge.
  • Note que para n=1 temos a_{1}=0, e para n\ge2 os termos são positivos.

Passo 2

Lembrete (fato necessário para convergência): se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge então obrigatoriamente
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n} tendem a um número finito S, então a diferença entre S e S_{N-1} é a_{N}, e essa diferença precisa tender a zero quando N\to\infty. Portanto, antes de qualquer teste mais sofisticado, sempre verificamos se a_{n}\to0; se não tende a zero, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Vamos verificar o comportamento do termo geral a_{n}=\bigl(\sqrt{n^{2}-1}\bigr)^{n} quando n\to\infty.
Primeiro observe
\sqrt{n^{2}-1}=n\sqrt{1-\tfrac{1}{n^{2}}}.
Para grandes n temos \sqrt{1-\tfrac{1}{n^{2}}} próximo de 1, logo heurísticamente \sqrt{n^{2}-1} cresce como n. Mais rigorosamente, podemos obter uma desigualdade simples válida a partir de n^{2}-1\ge \tfrac{n^{2}}{4} para n\ge2 (porque 3n^{2}\ge4 vale para n\ge2), então para n\ge2
\sqrt{n^{2}-1}\ge \frac{n}{2}.
Elevando à n-ésima potência obtemos, para n\ge2,
a_{n}=\bigl(\sqrt{n^{2}-1}\bigr)^{n}\ge\left(\frac{n}{2}\right)^{n}.

Passo 4

Analise a desigualdade do passo anterior: \left(\dfrac{n}{2}\right)^{n} cresce sem limite quando n\to\infty. Por exemplo, já que n^{n} cresce muito rápido, \left(\dfrac{n}{2}\right)^{n}\to\infty. Assim, para n\ge2 temos a_{n}\ge\left(\dfrac{n}{2}\right)^{n}\to\infty. Logo a_{n}\to\infty quando n\to\infty.
Do fato do passo 2, como o termo geral a_{n} não tende a zero (na verdade tende a +\infty), a série não pode convergir.

Passo 5

Como alternativa (e para fixar o conceito), podemos aplicar o teste da raiz: calcular
\lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^{2}-1}=+\infty.
O teste da raiz diz que se este limite é maior que 1 (aqui é infinito), então a série diverge. Isso confirma a conclusão do passo anterior.

Resposta

Diverge

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