Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação
(*)
sobre
(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})
definida por
(a, b) *(c, d)=(a d+b c, b d).

Passo 1

O enunciado dá uma operação binária *) sobre \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} definida por
(a,b)*(c,d) = (ad+bc,\; bd).
A pergunta é: essa operação é associativa? e é comutativa?
Listei as informações relevantes: a operação está definida para quaisquer inteiros a,b,c,d; não há restrição sobre b ou d serem zero — a definição vale para todos os pares em \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. O objetivo é verificar, para quaisquer três pares (a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, se vale
\big((a,b)*(c,d)\big)*(e,f)= (a,b)*\big((c,d)*(e,f)\big)
(associatividade) e se vale
(a,b)*(c,d)=(c,d)*(a,b)
(comutatividade).

Passo 2

Vou lembrar o que cada propriedade pede, explicando bem devagar.
  • Associatividade: uma operação * é associativa se, para quaisquer elementos x,y,z do conjunto, (x*y)*z = x*(y*z). Aqui x,y,z serão pares (a,b),(c,d),(e,f). Devemos calcular as duas expressões e comparar.
  • Comutatividade: * é comutativa se, para quaisquer x,y, x*y = y*x. Aqui basta trocar as posições dos pares e ver se o resultado é igual.
Vou fazer cálculos algébricos simbólicos com variáveis inteiras — isso mostra a propriedade para todos os casos de uma vez.

Passo 3

Calculo o lado esquerdo da associatividade: primeiro calcule (a,b)*(c,d) usando a definição:
(a,b)*(c,d) = (ad+bc,\; bd).
Agora aplico * a esse resultado e a (e,f). Pelo mesmo formato,
\big((a,b)*(c,d)\big)*(e,f) = (ad+bc,\; bd)*(e,f).
Aplicando a definição da operação ao par (ad+bc,\;bd) e (e,f), obtemos
\big((a,b)*(c,d)\big)*(e,f) = \big((ad+bc)f + (bd)e,\; (bd)f\big).
Faço a multiplicação distribuída para deixar claro cada termo:
(ad+bc)f + (bd)e = adf + bcf + bde.
E o segundo componente é
(bd)f = bdf.
Portanto
\big((a,b)*(c,d)\big)*(e,f) = \big(adf + bcf + bde,\; bdf\big).

Passo 4

Calculo o lado direito da associatividade: primeiro calcule (c,d)*(e,f):
(c,d)*(e,f) = (cf+de,\; df).
Agora aplico (a,b)* a esse resultado:
(a,b)*\big((c,d)*(e,f)\big) = (a,b)*(cf+de,\;df).
Usando a definição da operação,
(a,b)*(cf+de,\;df) = \big(a(df) + b(cf+de),\; b(df)\big).
Distribuo para ver os termos explícitos:
a(df) + b(cf+de) = adf + bcf + bde,
b(df) = bdf.
Portanto
(a,b)*\big((c,d)*(e,f)\big) = \big(adf + bcf + bde,\; bdf\big).

Passo 5

Comparando os resultados dos Passos 3 e 4 vemos que ambos são exatamente
\big(adf + bcf + bde,\; bdf\big).
Como isso vale para quaisquer inteiros a,b,c,d,e,f, concluímos que a operação * é associativa.
Agora verifico a comutatividade calculando (a,b)*(c,d) e trocando a ordem:
(a,b)*(c,d) = (ad+bc,\; bd),
(c,d)*(a,b) = (cb+da,\; db).
Pelo fato de que a multiplicação e a adição em \mathbb{Z} são comutativas (isto é, ad=da e bc=cb, e bd=db), temos
ad+bc = da+cb
e
bd = db.
Portanto (a,b)*(c,d) = (c,d)*(a,b) para quaisquer inteiros a,b,c,d, e a operação é comutativa.
Como observação intuitiva (não necessária para a prova formal): a operação é a mesma que a adição de frações escritas como pares (\text{numerador},\text{denominador}),
\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd},
o que explica por que a operação herda associatividade e comutatividade da adição. Mesmo quando algum denominador é zero a verificação algébrica direta acima continua válida porque trabalhamos com expressões formais em \mathbb{Z}.

Passo 6

Resumo final: a operação satisfaz as duas propriedades pedidas — associativa e comutativa — porque as expressões das duas maneiras de agrupar três elementos coincidem identicamente, e trocar os dois fatores também deixa a expressão inalterada.

Resposta

Associativa e comutativa.

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