Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação
(*)
sobre
(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})
definida por
(a, b) *(c, d)=(a d+b c, b d).
A operação
(*)
sobre
(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})
definida por
(a, b) *(c, d)=(a d+b c, b d).
Passo 1
O enunciado dá uma operação binária
sobre
definida por
A pergunta é: essa operação é associativa? e é comutativa?
Listei as informações relevantes: a operação está definida para quaisquer inteiros ; não há restrição sobre
ou
serem zero — a definição vale para todos os pares em
. O objetivo é verificar, para quaisquer três pares
, se vale
Listei as informações relevantes: a operação está definida para quaisquer inteiros
(associatividade) e se vale
(comutatividade).
Passo 2
Vou lembrar o que cada propriedade pede, explicando bem devagar.
- Associatividade: uma operação
é associativa se, para quaisquer elementos do conjunto, . Aqui serão pares . Devemos calcular as duas expressões e comparar. - Comutatividade:
é comutativa se, para quaisquer , . Aqui basta trocar as posições dos pares e ver se o resultado é igual.
Vou fazer cálculos algébricos simbólicos com variáveis inteiras — isso mostra a propriedade para todos os casos de uma vez.
Passo 3
Calculo o lado esquerdo da associatividade: primeiro calcule
usando a definição:
Agora aplico
a esse resultado e a
. Pelo mesmo formato,
Aplicando a definição da operação ao par
e
, obtemos
Faço a multiplicação distribuída para deixar claro cada termo:
E o segundo componente é
Portanto
Passo 4
Calculo o lado direito da associatividade: primeiro calcule
:
Agora aplico
a esse resultado:
Usando a definição da operação,
Distribuo para ver os termos explícitos:
Portanto
Passo 5
Comparando os resultados dos Passos 3 e 4 vemos que ambos são exatamente
Como isso vale para quaisquer inteiros
, concluímos que a operação
é associativa.
Agora verifico a comutatividade calculando
e trocando a ordem:
Pelo fato de que a multiplicação e a adição em
são comutativas (isto é,
e
, e
), temos
e
Portanto
para quaisquer inteiros
, e a operação é comutativa.
Como observação intuitiva (não necessária para a prova formal): a operação é a mesma que a adição de frações escritas como pares
,
o que explica por que a operação herda associatividade e comutatividade da adição. Mesmo quando algum denominador é zero a verificação algébrica direta acima continua válida porque trabalhamos com expressões formais em
.
Passo 6
Resumo final: a operação satisfaz as duas propriedades pedidas — associativa e comutativa — porque as expressões das duas maneiras de agrupar três elementos coincidem identicamente, e trocar os dois fatores também deixa a expressão inalterada.
Resposta
Associativa e comutativa.