Determine se os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
V=\rho \cos \varphi+z

Passo 1

O enunciado dá o potencial em coordenadas cilíndricas:
V=\rho\cos\varphi+z
Pergunta-se se esse potencial satisfaz a equação de Laplace, isto é, se
\nabla^2 V = 0.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função está dada em termos das coordenadas cilíndricas \rho, \varphi e z.
  • Quer-se verificar a igualdade \nabla^2 V=0 (ou seja, se V é harmônica).

Passo 2

Vou lembrar a fórmula da Laplaciana em coordenadas cilíndricas e explicar o que cada termo significa.
A Laplaciana em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) é dada por
\nabla^2 V = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 V}{\partial\varphi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}.
Explicação das partes:
  • \frac{\partial V}{\partial\rho} é a derivada parcial de V em direção radial (a mudança quando \rho varia).
  • Multiplicar por \rho dentro da derivada e depois dividir por \rho na frente ajusta a curvatura radial devido à geometria cilíndrica.
  • \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 V}{\partial\varphi^2} corresponde à curvatura angular (variação com o ângulo \varphi).
  • \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} é a curvatura ao longo do eixo z.
    Esta fórmula vale para pontos com \rho>0; em \rho=0 a própria coordenada cilíndrica é singular e é preciso checar a regularidade pela forma em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Calculo a derivada parcial de V em relação a \rho. Como
V=\rho\cos\varphi+z,
temos
\frac{\partial V}{\partial\rho}=\cos\varphi.
Multiplicando por \rho:
\rho\frac{\partial V}{\partial\rho}=\rho\cos\varphi.
Derivando isso em relação a \rho:
\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial\rho}\right) =\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\cos\varphi\right)=\cos\varphi,
porque \cos\varphi é tratado como constante quando derivamos em \rho. Então o primeiro termo da Laplaciana é
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial\rho}\right) =\frac{1}{\rho}\cos\varphi=\frac{\cos\varphi}{\rho}.

Passo 4

Agora calculo as derivadas em \varphi. Primeiro,
\frac{\partial V}{\partial\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\rho\cos\varphi+z\right)=-\rho\sin\varphi.
Derivando novamente em \varphi:
\frac{\partial^2 V}{\partial\varphi^2}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(-\rho\sin\varphi\right)=-\rho\cos\varphi.
Logo o segundo termo da Laplaciana é
\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 V}{\partial\varphi^2}=\frac{1}{\rho^2}\left(-\rho\cos\varphi\right)=-\frac{\cos\varphi}{\rho}.

Passo 5

Calculo o termo em z. Como V é linear em z (tem apenas +z), suas derivadas segundas em z são zero:
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0.

Passo 6

Somando os três termos da Laplaciana (usando os resultados dos passos anteriores) obtemos, para \rho>0,
\nabla^2 V = \frac{\cos\varphi}{\rho} - \frac{\cos\varphi}{\rho} + 0 = 0.
Portanto a Laplaciana é zero em todos os pontos com \rho>0. Observação importante sobre \rho=0: a expressão da Laplaciana em coordenadas cilíndricas usa fatores 1/\rho e, portanto, não é diretamente avaliada em \rho=0 por essa forma — isso é apenas uma singularidade de coordenadas, não necessariamente da função.

Passo 7

Para eliminar qualquer dúvida na origem ( \rho=0) é útil passar para coordenadas cartesianas. Lembra que em coordenadas cartesianas
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Como \rho\cos\varphi=x, o potencial pode ser escrito simplesmente como
V = x + z.
A Laplaciana em coordenadas cartesianas é
\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}.
Para V=x+z temos
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0,
logo
\nabla^2 V = 0
em todo o espaço \mathbb{R}^3, inclusive em \rho=0. A aparente ressalva em \rho=0 era só por causa da forma da fórmula cilíndrica; a função é perfeitamente suave e harmônica em toda parte.

Resposta

Sim. \nabla^2 V=0 para todo \mathbb{R}^3, ou seja, V satisfaz a equação de Laplace.

Exercícios relacionados