Determine se os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá o potencial em coordenadas cilíndricas:
Pergunta-se se esse potencial satisfaz a equação de Laplace, isto é, se
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função está dada em termos das coordenadas cilíndricas
, e . - Quer-se verificar a igualdade
(ou seja, se é harmônica).
Passo 2
Vou lembrar a fórmula da Laplaciana em coordenadas cilíndricas e explicar o que cada termo significa.
A Laplaciana em coordenadas cilíndricas
é dada por
Explicação das partes:
-
é a derivada parcial de em direção radial (a mudança quando varia). - Multiplicar por
dentro da derivada e depois dividir por na frente ajusta a curvatura radial devido à geometria cilíndrica. -
corresponde à curvatura angular (variação com o ângulo ). -
é a curvatura ao longo do eixo .
Esta fórmula vale para pontos com; em a própria coordenada cilíndrica é singular e é preciso checar a regularidade pela forma em coordenadas cartesianas.
Passo 3
Calculo a derivada parcial de
em relação a
. Como
temos
Multiplicando por
:
Derivando isso em relação a
:
porque
é tratado como constante quando derivamos em
. Então o primeiro termo da Laplaciana é
Passo 4
Agora calculo as derivadas em
. Primeiro,
Derivando novamente em
:
Logo o segundo termo da Laplaciana é
Passo 5
Calculo o termo em
. Como
é linear em
(tem apenas
), suas derivadas segundas em
são zero:
Passo 6
Somando os três termos da Laplaciana (usando os resultados dos passos anteriores) obtemos, para
,
Portanto a Laplaciana é zero em todos os pontos com
. Observação importante sobre
: a expressão da Laplaciana em coordenadas cilíndricas usa fatores
e, portanto, não é diretamente avaliada em
por essa forma — isso é apenas uma singularidade de coordenadas, não necessariamente da função.
Passo 7
Para eliminar qualquer dúvida na origem (
) é útil passar para coordenadas cartesianas. Lembra que em coordenadas cartesianas
Como
, o potencial pode ser escrito simplesmente como
A Laplaciana em coordenadas cartesianas é
Para
temos
logo
em todo o espaço
, inclusive em
. A aparente ressalva em
era só por causa da forma da fórmula cilíndrica; a função é perfeitamente suave e harmônica em toda parte.
Resposta
Sim.
para todo
, ou seja,
satisfaz a equação de Laplace.