Determine
sendo
dado por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e fornece o campo vetorial
. As informações dadas são (peguei exatamente do enunciado):
O que é pedido: calcular o produto vetorial
.
Observação: o enunciado não define explicitamente o que é
. Vou tratar essa ambiguidade e escolher um significado (justificarei a escolha no próximo passo), porque sem definir
não há como prosseguir.
Passo 2
Escolha do que interpretar por
.
- Motivo e escolha: em muitos exercícios do tipo (especialmente em campos magnéticos/eletricidade) a notação
costuma representar o rotacional de , isto é, (o operador vetorial às vezes é escrito de forma parecida). Como não foi dada nenhuma outra (por exemplo um vetor constante ou função explícita), a interpretação mais natural e utilizável é assumir e calcular o rotacional: . - Se
fosse um vetor qualquer, seria preciso saber suas componentes para fazer o produto vetorial; como não há essa informação, a escolha é a única que permite resolver o problema.
Portanto, a partir daqui vou calcular
.
Passo 3
Fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e explicação rápida.
Para um campo vetorial qualquer
o rotacional é dado por
Explicação das derivadas parciais: ao calcular
de uma função, trata-se
e
como constantes; ao calcular
, trata-se
e
como constantes; e assim por diante. Se um componente é produto de variáveis (por exemplo
), usa-se as regras usuais de derivação, lembrando que a variável diferente da que se deriva é tratada como constante.
Aqui
etc. corresponderão às componentes de
:
Passo 4
Calcular a componente
do rotacional:
- Calcular
. Como não depende de , temos
- Calcular
. Aqui . Ao derivar em relação a , e são constantes, então a derivada é
(Explicação: é como derivar
onde
é constante em relação a
.)
- Substituindo:
Passo 5
Calcular a componente
do rotacional:
- Calcular
. Com , ao derivar em relação a (tratando como constante) obtemos
(Explicação: é derivada de
em relação a
, resultando em
.)
- Calcular
. Com , derivando em relação a (tratando como constante) obtemos
(Explicação: derivada de
em relação a
é
, multiplicada por
.)
- Substituindo:
Passo 6
Calcular a componente
do rotacional:
- Calcular
. Com , ao derivar em relação a (tratando como constantes) obtemos
(Explicação: derivada de
em relação a
é
; o resto é constante.)
- Calcular
. Com , ao derivar em relação a (tratando como constante) obtemos
- Substituindo:
Passo 7
Montar o rotacional completo reunindo as três componentes encontradas:
Simplificando (eliminando o termo nulo):