Determine (\vec{V} x \vec{H}) sendo \vec{H} dado por:
\vec{H}=y^{2} z \vec{a} x+2(x+1) y z \vec{a} y-(x-1) z^{2} \vec{a} z

Passo 1

O enunciado pede para determinar (\vec{V}\times\vec{H}) e fornece o campo vetorial \vec{H}. As informações dadas são (peguei exatamente do enunciado):
  • \displaystyle \vec{H}=y^{2} z\,\vec{a}_x+2(x+1) y z\,\vec{a}_y-(x-1) z^{2}\,\vec{a}_z.
O que é pedido: calcular o produto vetorial (\vec{V}\times\vec{H}).
Observação: o enunciado não define explicitamente o que é \vec{V}. Vou tratar essa ambiguidade e escolher um significado (justificarei a escolha no próximo passo), porque sem definir \vec{V} não há como prosseguir.

Passo 2

Escolha do que interpretar por \vec{V}.
  • Motivo e escolha: em muitos exercícios do tipo (especialmente em campos magnéticos/eletricidade) a notação \vec{V}\times\vec{H} costuma representar o rotacional de \vec{H}, isto é, \vec{\nabla}\times\vec{H} (o operador vetorial \vec{\nabla} às vezes é escrito de forma parecida). Como não foi dada nenhuma outra \vec{V} (por exemplo um vetor constante ou função explícita), a interpretação mais natural e utilizável é assumir \vec{V}=\vec{\nabla} e calcular o rotacional: \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{H}.
  • Se \vec{V} fosse um vetor qualquer, seria preciso saber suas componentes para fazer o produto vetorial; como não há essa informação, a escolha \vec{V}=\vec{\nabla} é a única que permite resolver o problema.
Portanto, a partir daqui vou calcular \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{H}.

Passo 3

Fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e explicação rápida.
Para um campo vetorial qualquer
\vec{F}=F_x\,\vec{a}_x+F_y\,\vec{a}_y+F_z\,\vec{a}_z,
o rotacional é dado por
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\bigg(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\bigg)\vec{a}_x+\bigg(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\bigg)\vec{a}_y+\bigg(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\bigg)\vec{a}_z.
Explicação das derivadas parciais: ao calcular \partial/\partial x de uma função, trata-se y e z como constantes; ao calcular \partial/\partial y, trata-se x e z como constantes; e assim por diante. Se um componente é produto de variáveis (por exemplo y^2 z), usa-se as regras usuais de derivação, lembrando que a variável diferente da que se deriva é tratada como constante.
Aqui F_x,H_x etc. corresponderão às componentes de \vec{H}:
H_x=y^{2}z,\qquad H_y=2(x+1) y z,\qquad H_z=-(x-1) z^{2}.

Passo 4

Calcular a componente \vec{a}_x do rotacional:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_x=\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial H_z}{\partial y}. Como H_z=-(x-1)z^{2} não depende de y, temos
\frac{\partial H_z}{\partial y}=0.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial H_y}{\partial z}. Aqui H_y=2(x+1) y z. Ao derivar em relação a z, x e y são constantes, então a derivada é
\frac{\partial H_y}{\partial z}=2(x+1) y.
(Explicação: é como derivar C\cdot z onde C=2(x+1)y é constante em relação a z.)
  • Substituindo:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_x=0-2(x+1)y=-2(x+1)y.

Passo 5

Calcular a componente \vec{a}_y do rotacional:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_y=\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial H_x}{\partial z}. Com H_x=y^{2}z, ao derivar em relação a z (tratando y como constante) obtemos
\frac{\partial H_x}{\partial z}=y^{2}.
(Explicação: é derivada de y^2\cdot z em relação a z, resultando em y^2.)
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial H_z}{\partial x}. Com H_z=-(x-1)z^{2}, derivando em relação a x (tratando z como constante) obtemos
\frac{\partial H_z}{\partial x}=-(1)\cdot z^{2}=-z^{2}.
(Explicação: derivada de -(x-1) em relação a x é -1, multiplicada por z^2.)
  • Substituindo:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_y=y^{2}-(-z^{2})=y^{2}+z^{2}.

Passo 6

Calcular a componente \vec{a}_z do rotacional:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_z=\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial H_y}{\partial x}. Com H_y=2(x+1) y z, ao derivar em relação a x (tratando y,z como constantes) obtemos
\frac{\partial H_y}{\partial x}=2\cdot 1\cdot y z=2 y z.
(Explicação: derivada de x+1 em relação a x é 1; o resto é constante.)
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial H_x}{\partial y}. Com H_x=y^{2}z, ao derivar em relação a y (tratando z como constante) obtemos
\frac{\partial H_x}{\partial y}=2 y z.
  • Substituindo:
(\vec{\nabla}\times\vec{H})_z=2 y z-2 y z=0.

Passo 7

Montar o rotacional completo reunindo as três componentes encontradas:
\vec{\nabla}\times\vec{H}=-2(x+1)y\,\vec{a}_x+(y^{2}+z^{2})\,\vec{a}_y+0\cdot\vec{a}_z.
Simplificando (eliminando o termo nulo):
\boxed{\displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{H}=-2(x+1)y\,\vec{a}_x+(y^{2}+z^{2})\,\vec{a}_y.}

Resposta

\displaystyle -2(x+1)y\,\vec{a}_x+(y^{2}+z^{2})\,\vec{a}_y

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