Determine se as seguintes propriedades dos sistemas são válidas. Justifique suas respostas.
(7 \mathrm{pts}) y(t)=2 x(t) (BIBO estável)

Passo 1

O enunciado dá o sistema descrito pela equação
y(t)=2\,x(t).
A pergunta é: esse sistema é BIBO estável? Isto é, dado qualquer entrada limitada, a saída fica limitada por alguma constante finita? Vou listar explicitamente o que foi fornecido e o que se pede:
  • Dado: a relação de entrada-saída y(t)=2\,x(t) para todo t.
  • Pedido: determinar se a propriedade “BIBO estável” vale para esse sistema e justificar.

Passo 2

Definição precisa de BIBO estável (sem pular passos). Um sistema é BIBO estável se, para toda entrada x(t) que seja limitada (ou seja, existe uma constante finita M_x tal que |x(t)|\le M_x para todo t), a saída y(t) também é limitada por alguma constante finita M_y (ou seja, existe M_y<\infty tal que |y(t)|\le M_y para todo t). Em forma matemática:
\text{Se } \sup_{t}|x(t)| \le M_x < \infty,\quad\text{então deve existir }M_y<\infty\text{ tal que }\sup_{t}|y(t)|\le M_y.ã
Aqui \sup_{t}|x(t)| é o menor limite superior do módulo de x(t) ao longo de todos os instantes — na prática, “o máximo absoluto” da entrada, se existir, ou simplesmente um limite superior finito se a entrada for limitada.

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema y(t)=2\,x(t). Para qualquer t vale a identidade absoluta
|y(t)| = |2\,x(t)| = 2\,|x(t)|.
Agora suponha que a entrada seja limitada, isto é, exista M_x<\infty com
|x(t)| \le M_x\quad\text{para todo }t.
Substituindo isso na expressão anterior obtemos, para todo t,
|y(t)| \le 2\,M_x.
Portanto a saída tem um limite superior M_y que pode ser escolhido como M_y=2\,M_x. Observação técnica: 2\,M_x é finito sempre que M_x for finito.

Passo 4

Interpretação do que foi obtido (sem ainda dar a resposta final isolada): a desigualdade
\sup_{t}|y(t)| \le 2\,\sup_{t}|x(t)|
mostra que qualquer entrada limitada produz uma saída limitada — a constante de limite da saída é apenas o dobro da constante da entrada. Esse raciocínio já é uma justificação direta e elementar via definição de BIBO.

Passo 5

Um segundo argumento (útil para reforçar e aprender outro critério): reconhecer o sistema como LTI (linear e invariante em tempo) com resposta ao impulso
h(t)=2\,\delta(t),
onde \delta(t) é a função delta de Dirac. Para sistemas LTI vale y(t)= (h*x)(t) (convolução). Um resultado padrão é: se a resposta ao impulso h(t) satisfaz
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty,
então o sistema é BIBO estável. Aqui
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} 2\,|\delta(t)|\,dt = 2,
pois a massa da delta integrada é 1. Como 2<\infty, o critério de norma L^1 da resposta ao impulso confirma (novamente) que o sistema satisfaz a condição suficiente para BIBO estabilidade. Também pode-se derivar a desigualdade de norma da convolução
\|y\|_\infty \le \|h\|_{1}\,\|x\|_\infty,
aqui \|h\|_{1}=\int |h(t)|dt=2, o que retorna a mesma constante 2 vista antes.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: se x(t) satisfaz |x(t)|\le 5 para todo t, então pela fórmula y(t)=2x(t) temos |y(t)|\le 2\cdot 5 =10 para todo t. Isso mostra concretamente como se escolhe M_y a partir de M_x.

Passo 7

Observação final didática e motivacional: a propriedade é independente de detalhes temporais da entrada — basta que a entrada seja limitada em amplitude. O fator multiplicativo 2 é chamado de ganho do sistema e é exatamente a razão entre os limites \,M_y/M_x. Mantém a calma: esse tipo de verificação é direto na prova — bastam uma desigualdade simples e, se souber, o critério de \|h\|_1 para LTI como confirmação.

Resposta

Sim. O sistema é BIBO estável, pois \sup_{t}|y(t)| \le 2\,\sup_{t}|x(t)|.

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