Determine se as seguintes propriedades dos sistemas são válidas. Justifique suas respostas.
(BIBO estável)
Passo 1
O enunciado dá o sistema descrito pela equação
A pergunta é: esse sistema é BIBO estável? Isto é, dado qualquer entrada limitada, a saída fica limitada por alguma constante finita? Vou listar explicitamente o que foi fornecido e o que se pede:
- Dado: a relação de entrada-saída
para todo . - Pedido: determinar se a propriedade “BIBO estável” vale para esse sistema e justificar.
Passo 2
Definição precisa de BIBO estável (sem pular passos). Um sistema é BIBO estável se, para toda entrada
que seja limitada (ou seja, existe uma constante finita
tal que
para todo
), a saída
também é limitada por alguma constante finita
(ou seja, existe
tal que
para todo
). Em forma matemática:
Aqui
é o menor limite superior do módulo de
ao longo de todos os instantes — na prática, “o máximo absoluto” da entrada, se existir, ou simplesmente um limite superior finito se a entrada for limitada.
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema
. Para qualquer
vale a identidade absoluta
Agora suponha que a entrada seja limitada, isto é, exista
com
Substituindo isso na expressão anterior obtemos, para todo
,
Portanto a saída tem um limite superior
que pode ser escolhido como
. Observação técnica:
é finito sempre que
for finito.
Passo 4
Interpretação do que foi obtido (sem ainda dar a resposta final isolada): a desigualdade
mostra que qualquer entrada limitada produz uma saída limitada — a constante de limite da saída é apenas o dobro da constante da entrada. Esse raciocínio já é uma justificação direta e elementar via definição de BIBO.
Passo 5
Um segundo argumento (útil para reforçar e aprender outro critério): reconhecer o sistema como LTI (linear e invariante em tempo) com resposta ao impulso
onde
é a função delta de Dirac. Para sistemas LTI vale
(convolução). Um resultado padrão é: se a resposta ao impulso
satisfaz
então o sistema é BIBO estável. Aqui
pois a massa da delta integrada é
. Como
, o critério de norma
da resposta ao impulso confirma (novamente) que o sistema satisfaz a condição suficiente para BIBO estabilidade. Também pode-se derivar a desigualdade de norma da convolução
aqui
, o que retorna a mesma constante
vista antes.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: se
satisfaz
para todo
, então pela fórmula
temos
para todo
. Isso mostra concretamente como se escolhe
a partir de
.
Passo 7
Observação final didática e motivacional: a propriedade é independente de detalhes temporais da entrada — basta que a entrada seja limitada em amplitude. O fator multiplicativo
é chamado de ganho do sistema e é exatamente a razão entre os limites
. Mantém a calma: esse tipo de verificação é direto na prova — bastam uma desigualdade simples e, se souber, o critério de
para LTI como confirmação.
Resposta
Sim. O sistema é BIBO estável, pois
.