Um sistema LTI responde as seguintes entradas com as saídas correspondentes: se
, então
e se
, então
. Encontre
para as seguintes entradas:
x(t)=5 u(t)+10 cos (2 t)
x(t)=5 u(t)+10 cos (2 t)
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema LTI (linear e invariante no tempo) e duas respostas conhecidas:
- Se
então . - Se
então .
A questão pede a saída
quando a entrada é
Informações que temos e usaremos:
- O sistema é LTI, logo vale superposição (linearidade) e deslocamento em frequência é tratado por resposta em frequência.
- A resposta ao degrau fornecida permite encontrar a resposta ao impulso do sistema.
- A resposta ao cosseno fornece informação sobre o ganho e defasagem do sistema em frequência
, que pode ser verificada com a transformada da resposta ao impulso.
Passo 2
Estratégia geral (sem cálculos ainda): por linearidade a saída será soma das saídas causadas por cada termo da entrada:
onde
é a saída para
e
para
. Vou achar primeiro a função impulso
do sistema (a partir da resposta ao passo) e a função de resposta em frequência
(transformada de
), porque com
é direto obter a saída para um cosseno.
Passo 3
Encontrar a resposta ao impulso
a partir da resposta ao degrau.
Lembrete/teoria rápida: a resposta ao degrau
(quando a entrada é
) está relacionada à resposta ao impulso
por
ou equivalentemente
no sentido usual (há que verificar se aparece termo delta em
, mas vamos checar).
Aqui temos
Calculemos a derivada para
. A derivada de
é
. Em termos de distribuição, a derivada de
dá
. Aqui
tem
, então não aparece delta. Portanto
Comentário amigo: isso significa que o sistema tem um decaimento exponencial com constante de tempo 1 e ganho inicial 2 — fácil de visualizar.
Passo 4
Obter a resposta em frequência
(transformada de Fourier de
).
Teoria curta: para
,
Aplicando a escala
e
,
Verificação com a resposta dada para
: para entrada
(amplitude
,
) a saída em regime estacionário é
.
Calculemos Assim
Calculemos
Logo a saída seria
, que coincide com o dado. Ótimo — tudo consistente.
Passo 5
Resposta para a parte
.
Propriedade de escala (linearidade): se a entrada for
a saída é
vezes a saída para
. Como a saída para
é
, então para
obtemos
Explicando devagar: multiplica-se todo o degrau-resposta por 5. Simples e seguro na prova.
Passo 6
Resposta para a parte
usando
.
Teoria do cosseno em LTI: para entrada
(cosseno permanente, assumido para todos os tempos), a saída em regime estacionário é
Aqui
e
. Calculemos
:
O módulo é
A fase é
Então a amplitude de saída será
Portanto a saída para
é
Nota didática: deixar a fase como
está ótimo na prova; se precisar de valor numérico pode usar
(mas não é necessário).
Passo 7
Somar as duas contribuições (superposição) para obter a saída total:
Comentário final amigo: a primeira parcela é a resposta ao degrau escalado (tem o decaimento exponencial/transiente), a segunda parcela é a resposta em regime estacionário ao cosseno de frequência
. Se na prova pedirem, pode também escrever
como ângulo negativo na exponencial complexa, mas a forma em cosseno com amplitude e fase é a mais limpa.