1. (25 pts) Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa. Justifique as afirmativas falsas.
    a. Se h(t) é a resposta ao impulso de um sistema LTI e h(t) é periódico e diferente de zero, o sistema é instável.
    b. Se um sistema discreto LTI possui uma resposta ao impulso h[n] de duração finita, o sistema é estável.
    c. Se um sistema LTI é causal, é estável.
    d. Dado o seguinte sistema
y(t)=\left\{\begin{array}{ll} x(t) & \text { se } x(t)>0 \\\\ 0 & \text { se } x(t) \leq 0 \end{array},\right.
podemos afirmar que ele é linear.
e. Dado um sistema LTI com entrada x(t) e saída y(t) possui os seguintes pares entrada-saída:
\begin{gathered} x(t)=e^{j 2 t} \rightarrow y(t)=e^{j 3 t} \\\ x(t)=e^{-j 2 t} \rightarrow y(t)=e^{-j 3 t} \end{gathered}
Se x_{2}(t)=\cos \left(2\left(t-\frac{1}{2}\right)\right), então a saída correspondente será y_{2}(t)=\cos (3 t-3).

Passo 1

O enunciado nos dá cinco afirmações (a)–(e) sobre sistemas LTI e pede: para cada uma, decidir se é verdadeira ou falsa e justificar as falsas. As informações que aparecem explicitamente:
  • Em (a) temos um sistema LTI com resposta ao impulso \,h(t)\,\) contínua no tempo e o enunciado diz que \(\,h(t)\,\) é periódico e diferente de zero. - Em (b) temos um sistema discreto LTI com resposta ao impulso \(\,h[n]\) de duração finita\) (ou seja, existe \(N\) tal que \(h[n]=0\) para \(|n|>N\)). - Em \text{(c)} é afirmado que “se um sistema LTI é causal, então é estável”. - Em (d) é apresentado um sistema não-LTI (não é dito ser LTI) com a lei ponto-a-ponto \[y(t)=\begin{cases} x(t), & \text{se } x(t)>0,\\[4pt] 0, & \text{se } x(t)\le 0, \end{cases}e pede-se verificar linearidade.
  • Em (e) há um “sistema LTI” que, segundo o enunciado, tem os pares entrada-saída x(t)=e^{j2t}\mapsto y(t)=e^{j3t},\qquad x(t)=e^{-j2t}\mapsto y(t)=e^{-j3t},e pergunta-se se para x_2(t)=\cos\bigl(2(t-\tfrac12)\bigr)\] a saída é \(y_2(t)=\cos(3t-3).
O que será usado em várias justificativas (lembrinhas):
  • Critério BIBO (estabilidade para sistemas LTI contínuos): um LTI contínuo é BIBO estável se, e só se, \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
  • Critério BIBO para LTI discreto: um LTI discreto é BIBO estável se, e só se, \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
  • Para um sistema LTI, exponenciais complexas são autofunções: se a entrada é e^{j\omega t} então a saída tem a forma H(j\omega)\,e^{j\omega t}, isto é, a frequência \omega não muda, apenas há um ganho complexo H(j\omega) (independente de t).]

Passo 2

Afirmação: “Se \,h(t)\, é a resposta ao impulso de um sistema LTI e \,h(t)\, é periódico e diferente de zero, o sistema é instável.”
Explicação didática e justificativa passo a passo:
  1. Relembrando o critério: para um LTI contínuo ser BIBO estável é necessário e suficiente que \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt<\infty. Isto significa que a área total sob |h(t)| deve ser finita.
  2. Suponha que \,h(t)\, seja periódico de período T>0 e não seja identicamente zero. Então considere a integral sobre um período: I:=\int_{0}^{T} |h(t)|\,dt.Como h não é a função zero em todo o período, normalmente I>0 (para funções usuais isso ocorre; se h fosse não nula apenas em um conjunto de medida zero seria um caso pathológico que normalmente não é considerado para respostas ao impulso “função”; o enunciado usa h(t) como resposta ao impulso, então tratamos h como função integrável por pedaços).
  3. Pela periodicidade, para qualquer inteiro k vale \int_{kT}^{(k+1)T}|h(t)|\,dt=I. Assim \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{kT}^{(k+1)T} |h(t)|\,dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} I.
  4. Como I>0, a soma infinita diverge para +\infty. Portanto \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt = \infty.
  5. Conclusão: a condição de estabilidade BIBO falha, logo o sistema NÃO é estável. Assim a afirmação é verdadeira (ou seja, a consequência “o sistema é instável” é correta sob as hipóteses usuais).
Observação amigável: intuitivamente, se h(t) repete um “sinal” não nulo infinitamente, a contribuição total não se anula e o sistema não zera a energia da resposta ao impulso ao longo do tempo, produzindo saída potencialmente não-bounded para entradas limitadas.

Passo 3

Afirmação: “Se um sistema discreto LTI possui uma resposta ao impulso \,h[n] de duração finita, o sistema é estável.”
Explicação didática e justificativa passo a passo:
  1. Critério discreto: um LTI discreto é BIBO estável se, e só se, \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
  2. “Duração finita” significa que existe N tal que h[n]=0 para todo n com |n|>N. Logo a soma \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| reduz-se a uma soma finita: \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \sum_{n=-N}^{N} |h[n]|,que é claramente finita (soma de um número finito de termos finitos).
  3. Portanto a condição de estabilidade é satisfeita: o sistema é BIBO estável.
Exemplo simples: se h[n] só tem valores não nulos em n=0,1,2, então a soma absoluta tem no máximo três termos e é finita — então estável.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação: “Se um sistema LTI é causal, é estável.”
Explicação didática e justificativa passo a passo:
  1. Relembrando definições: causalidade significa que h(t)=0 para t<0 (ou, no caso discreto, h[n]=0 para n<0). Estabilidade BIBO requer \int |h(t)|<\infty (contínuo) ou \sum |h[n]|<\infty (discreto).
  2. Causalidade impõe apenas que a resposta ao impulso comece em t=0; não impõe que |h| decaia suficientemente rápido para ser integrável ou somável.
  3. Contraexemplo simples (contínuo): tome h(t)=u(t) (função degrau unitário), que é causal (zero para t<0). Calcule a integral: \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{0}^{\infty} 1\,dt = \infty.Logo o critério BIBO falha: não é estável. De fato, entrada limitada x(t)=1 (constante) produz saída y(t)=(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^{t} 1\,d\tau = +\infty,portanto saída não é limitada.
  4. Contraexemplo discreto: h[n]=1 para n\ge 0 é causal mas \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|=\sum_{n=0}^{\infty}1=\infty, não estável; com entrada x[n]=u[n] (limitada), a saída diverge.
Conclusão: causalidade não garante estabilidade. Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação: o sistema definido por
y(t)=\begin{cases} x(t), & \text{se } x(t)>0,\\[4pt] 0, & \text{se } x(t)\le 0, \end{cases}
é linear.
Explicação didática e justificativa passo a passo:
  1. Linearidade exige duas propriedades: homogeneidade (escalar multiplicação) e aditividade (superposição). Mostrar que qualquer uma falha já basta para concluir não linear.
  2. Teste de homogeneidade com um exemplo simples: tome a entrada x(t)=1 (constante e positiva). Então a saída é y(t)=1. Agora multiplique a entrada por -1: entrada -x(t)=-1 satisfaz -1\le 0, então a saída para essa entrada é 0. Se o sistema fosse linear, pela homogeneidade a saída para -x deveria ser -1. Mas real saída é 0\neq -1. Portanto a propriedade de homogeneidade falha.
  3. Ou testar aditividade: tome x_1(t)=1 (então y_1(t)=1) e x_2(t)=-1 (então y_2(t)=0). A soma das entradas é x_1+x_2=0 e a saída correspondente é y=0. Mas y_1+y_2=1+0=1\neq 0. Então a aditividade falha também.
  4. Conclusão: o sistema é não linear (é o tipo de função conhecido como “retificador” ou “meia-onda” — aplicando não-linearidade ponto a ponto).
Amigo: é muito comum encontrar esse tipo de sistema em eletrônica (retificadores) — são úteis, mas não lineares.]

Passo 6

Afirmação: dado um sistema LTI com os pares
e^{j2t}\mapsto e^{j3t},\qquad e^{-j2t}\mapsto e^{-j3t},
então para x_2(t)=\cos\bigl(2(t-\tfrac12)\bigr) a saída é y_2(t)=\cos(3t-3).
Explicação didática e justificativa passo a passo:
  1. Primeiro, relembrar uma propriedade fundamental dos sistemas LTI: exponenciais complexas e^{j\omega t} são autofunções do sistema, isto é, se a entrada é e^{j\omega t} então a saída necessariamente tem a forma y(t)=H(j\omega)\,e^{j\omega t},onde H(j\omega) é um ganho complexo que depende de \omega, mas não de t. Em particular, a frequência \omega não é trocada por outra — o sistema não altera a frequência das exponenciais, apenas multiplica por um número complexo.
  2. O enunciado dá algo diferente: ele afirma que para a entrada e^{j2t} a saída é e^{j3t}. Se isso fosse verdade para um sistema LTI, teríamos e^{j3t} = H(j2)\,e^{j2t}.Isolando H(j2) daria H(j2) = e^{j(3-2)t} = e^{j t},que depende de t. Mas H(j2) deve ser uma constante (função de \omega=2 apenas), não pode depender de t. Logo há uma contradição lógica: um sistema LTI não pode transformar e^{j2t} num exponencial com frequência diferente e^{j3t}.
  3. Portanto a hipótese inicial “é um sistema LTI que realiza esses dois pares” é inconsistente (impossível). Dizer que “dado um sistema LTI com tais pares” é já um enunciado contraditório.
  4. Consequentemente, não se pode aplicar as regras LTI de forma consistente para deduzir a saída para x_2(t). A conclusão proposta y_2(t)=\cos(3t-3) é obtida se alguém supõe que o sistema simplesmente troca \omega=2 por \omega=3 e preserva fases — mas isso violaria a propriedade de autofunção das exponenciais em sistemas LTI.
  5. Em termos práticos: a transformação dada no enunciado só poderia ocorrer em um sistema que NÃO seja LTI (por exemplo, um modulador que muda frequência, ou um sistema não linear/variável no tempo). Logo, sob a hipótese LTI, a dedução do enunciado é falsa.
Conclusão: a afirmação é falsa. A razão é que para um LTI uma entrada e^{j\omega t} nunca pode produzir e^{j\omega' t} com \omega'\neq\omega por multiplicação por um ganhinho independente de t.

Resposta

a. Verdadeira
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa
e. Falsa

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