Determine se as seguintes são transformações lineares de C([0,1]) (Conjunto de funções continuas) em \mathbb{R}^{1} :
(b) L(f)=|f(0)|

Passo 1

O enunciado define o operador L\colon C([0,1])\to\mathbb{R} dado por
L(f)=\lvert f(0)\rvert.
O conteúdo é transformação linear entre espaços vetoriais reais. Para decidir se L é linear, precisamos usar a definição de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição, L é linear se, para quaisquer f,g\in C([0,1]) e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valerem
L(f+g)=L(f)+L(g)
e
L(\alpha f)=\alpha\,L(f).

Passo 3

Testando aditividade, escolhemos duas funções constantes: f(x)=1 e g(x)=-1. Então f(0)=1 e g(0)=-1, e temos
L(f+g)=\lvert (f+g)(0)\rvert =\lvert 1+(-1)\rvert =0
enquanto
L(f)+L(g)=\lvert f(0)\rvert +\lvert g(0)\rvert =1+1=2.
Como 0\neq2, a aditividade falha.

Passo 4

Testando homogeneidade, pegamos \alpha=-1 e qualquer f. Então
L(\alpha f)=\lvert(\alpha f)(0)\rvert =\lvert -1\cdot f(0)\rvert =\lvert f(0)\rvert
mas
\alpha\,L(f)=-1\cdot\lvert f(0)\rvert =-\lvert f(0)\rvert.
Como \lvert f(0)\rvert\neq -\lvert f(0)\rvert em geral, a homogeneidade também falha.

Resposta

L não é uma transformação linear.

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