Determine se as seguintes são transformações lineares de C([0,1]) (Conjunto de funções continuas) em \mathbb{R}^{1} :
(c) L(f)=\frac{f(0)+f(1)}{2}

Passo 1

O enunciado define a aplicação L\colon C([0,1])\to\mathbb{R}
por
L(f)=\frac{f(0)+f(1)}{2}.
Para ser transformação linear, L deve satisfazer aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos aditividade. Para quaisquer f,g\in C([0,1]):
L(f+g) = \frac{(f+g)(0)+(f+g)(1)}{2} = \frac{f(0)+g(0)+f(1)+g(1)}{2} = \frac{f(0)+f(1)}{2} + \frac{g(0)+g(1)}{2} = L(f)+L(g).

Passo 3

Verificamos homogeneidade. Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e f\in C([0,1]):
L(\alpha f) = \frac{\alpha f(0)+\alpha f(1)}{2} = \alpha\frac{f(0)+f(1)}{2} = \alpha\,L(f).

Resposta

L é transformação linear de C([0,1]) em \mathbb{R}.

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