Determine se as seguintes são transformações lineares de C([0,1]) (Conjunto de funções continuas) em \mathbb{R}^{1} :
(a) L(f)=f(0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
L\colon C([0,1]) \to \mathbb{R}^1 \quad\text{definida por}\quad L(f)=f(0)
é uma transformação linear. Lembrando que, para ser linear, precisamos mostrar duas propriedades para todo f,g\in C([0,1]) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}:
  1. L(f+g)=L(f)+L(g) (aditividade)
  2. L(\alpha f)=\alpha\,L(f) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade:
Se f,g\in C([0,1]), então
L(f+g)=(f+g)(0)=f(0)+g(0).
Como L(f)=f(0) e L(g)=g(0), segue que
L(f+g)=f(0)+g(0)=L(f)+L(g).

Passo 3

Verificação da homogeneidade:
Se \alpha\in\mathbb{R} e f\in C([0,1]), então
L(\alpha f)=(\alpha f)(0)=\alpha\cdot f(0).
Como L(f)=f(0), segue que
L(\alpha f)=\alpha\,f(0)=\alpha\,L(f).

Resposta

L(f)=f(0) é uma transformação linear de C([0,1]) em \mathbb{R}^1.

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