Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
11.)
\sum_{n=2}^{\infty} 2^{2 n} 5^{-3 n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}2^{2n}5^{-3n}
e, caso ela converja, determinar sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica: precisamos reescrever o termo geral no formato r^n e verificar se \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Simplificamos o termo geral:
2^{2n}5^{-3n} = \frac{(2^2)^n}{(5^3)^n} = \frac{4^n}{125^n} = \biggl(\frac{4}{125}\biggr)^n.
Logo a série é
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl(\frac{4}{125}\biggr)^n.

Passo 3

Para uma série geométrica \sum_{n=N}^{\infty}r^n, a convergência acontece se e somente se \lvert r\rvert<1. Aqui
r = \frac{4}{125},
e de fato \bigl\lvert4/125\bigr\rvert<1. Portanto a série converge.

Passo 4

A soma de \sum_{n=2}^{\infty}r^n é
\sum_{n=2}^{\infty}r^n = \frac{r^2}{1-r}.
Substituindo r=4/125, obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl(\frac{4}{125}\biggr)^n = \frac{\bigl(4/125\bigr)^2}{1 - 4/125} = \frac{16/15625}{121/125} = \frac{16}{15625}\cdot\frac{125}{121} = \frac{16}{15125}.

Resposta

A série é convergente, e sua soma vale \displaystyle \frac{16}{15125}.

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