Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
17.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2 n}}{(-6)^{4-n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2n}}{(-6)^{4-n}}.
O conteúdo aqui é séries infinitas, em particular séries geométricas. Para resolver, vamos simplificar o termo geral, identificar a razão e verificar a condição de convergência.

Passo 2

Começamos simplificando o termo geral:
\frac{3^{2n}}{(-6)^{4-n}} = \frac{9^n}{(-6)^4 \,(-6)^{-n}} = \frac{9^n}{1296}\cdot(-6)^n = \frac{(9\cdot(-6))^n}{1296} = \frac{(-54)^n}{1296}.

Passo 3

A série fica então
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-54)^n}{1296},
que é uma série geométrica de primeiro termo a=\tfrac{-54}{1296} e razão
r = -54.

Passo 4

Uma série geométrica \sum ar^n converge somente se \lvert r\rvert<1. Aqui temos \lvert r\rvert=54>1, de modo que os termos não tendem a zero e a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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