Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
. :
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, dizer se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.
Informações que temos:
- O termo geral é
. - Os sinais alternam devido ao fator
. - A parte positiva (magnitude) é
, que é sempre positiva para .
Passo 2
Estratégia (ferramentas que vou usar):
- Usar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz): se
é não crescente (ou decrescente a partir de algum ) e , então a série alternada converge. - Para verificar se a convergência é absoluta, examinar a série de termos positivos
. Usarei o teste de comparação por limite (limit comparison) com a série harmônica .
Vou aplicar esses testes passo a passo.
Passo 3
Verificar o comportamento assintótico de
(precisamos em particular de
).
Calcular
Dividindo numerador e denominador por
(ou reconhecendo que para grandes
o termo dominante no denominador é
), obtemos
Portanto
, que é uma das condições do teste de Leibniz.
Passo 4
Verificar monotonicidade eventual de
: mostrar que
é decrescente a partir de algum
.
Considere a função contínua
Calculo da derivada:
Observação sobre o sinal de
:
- Para
tem-se (função crescente nessa faixa). - Para
tem-se (função decrescente nessa faixa).
Como
é decrescente em
, a sequência
é decrescente para
. Para o teste de Leibniz basta que
seja não crescente a partir de algum
; aqui isso ocorre para
. Logo a condição de monotonicidade eventual está satisfeita.
Passo 5
Aplicação do teste de Leibniz (série alternada):
O teste de Leibniz diz: se é uma sequência de termos positivos tal que
é não crescente a partir de algum
e
, então a série
converge.
O teste de Leibniz diz: se
Nós mostramos que
e que
é decrescente para
. Portanto, pela regra de Leibniz, a série
converge.
Passo 6
Verificação da convergência absoluta: examinar
.
Usar comparação por limite com a série harmônica
, que diverge. Calcular o limite
Como
o limite
é um número finito e positivo. Pelo teste de comparação por limite,
tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que
. Como
diverge, segue que
também diverge.
Assim a série dos módulos diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 7
Conclusão combinada: a série alternada converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (pois
diverge). Portanto a convergência é condicional.
Força aí — você já passou pela parte mais chata: identificar os testes e aplicar. O resultado é simples e útil para muitas provas.
Resposta
A série converge condicionalmente.