Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+4} R. :

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+4}
é convergente ou divergente. Se for convergente, dizer se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.
Informações que temos:
  • O termo geral é a_n = \dfrac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+4}.
  • Os sinais alternam devido ao fator (-1)^{n-1}.
  • A parte positiva (magnitude) é b_n=\dfrac{n}{n^{2}+4}, que é sempre positiva para n\ge1.

Passo 2

Estratégia (ferramentas que vou usar):
  • Usar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz): se b_n é não crescente (ou decrescente a partir de algum N) e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada \sum (-1)^{n-1} b_n converge.
  • Para verificar se a convergência é absoluta, examinar a série de termos positivos \sum b_n. Usarei o teste de comparação por limite (limit comparison) com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}.
Vou aplicar esses testes passo a passo.

Passo 3

Verificar o comportamento assintótico de b_n (precisamos em particular de \lim_{n\to\infty} b_n).
Calcular
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{2}+4}.
Dividindo numerador e denominador por n (ou reconhecendo que para grandes n o termo dominante no denominador é n^2), obtemos
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{2}+4} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n + \tfrac{4}{n}} = 0.
Portanto b_n \to 0, que é uma das condições do teste de Leibniz.

Passo 4

Verificar monotonicidade eventual de b_n: mostrar que b_n é decrescente a partir de algum n.
Considere a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4},\qquad x>0.
Calculo da derivada:
f'(x)=\frac{(x^{2}+4)\cdot 1 - x\cdot 2x}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{4-x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.
Observação sobre o sinal de f'(x):
  • Para 0<x<2 tem-se 4-x^{2}>0\Rightarrow f'(x)>0 (função crescente nessa faixa).
  • Para x>2 tem-se 4-x^{2}<0\Rightarrow f'(x)<0 (função decrescente nessa faixa).
Como f é decrescente em [2,\infty), a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge 3. Para o teste de Leibniz basta que b_n seja não crescente a partir de algum N; aqui isso ocorre para N=3. Logo a condição de monotonicidade eventual está satisfeita.

Passo 5

Aplicação do teste de Leibniz (série alternada):
O teste de Leibniz diz: se (b_n) é uma sequência de termos positivos tal que b_n é não crescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série \sum_{n} (-1)^{n-1} b_n converge.
Nós mostramos que b_n\to0 e que b_n é decrescente para n\ge3. Portanto, pela regra de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+4}
converge.

Passo 6

Verificação da convergência absoluta: examinar \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+4}.
Usar comparação por limite com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que diverge. Calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{2}+4}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}=1,
o limite L é um número finito e positivo. Pelo teste de comparação por limite, \sum b_n tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que \sum \dfrac{1}{n}. Como \sum \dfrac{1}{n} diverge, segue que \sum b_n também diverge.
Assim a série dos módulos diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 7

Conclusão combinada: a série alternada converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (pois \sum |a_n| diverge). Portanto a convergência é condicional.
Força aí — você já passou pela parte mais chata: identificar os testes e aplicar. O resultado é simples e útil para muitas provas.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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