Como sabemos, se
e
são séries de termos finitos tais que
,
e finito, então ou ambas convergem ou ambas divergem. Mas, também pode-se mostrar que se a série dos
converge(diverge) e se
, então, a série dos
converge(diverge). Use estes fatos para mostrar o que se pede:
Se
e
for convergente, mostre que
também é convergente.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Tem-se uma sequência
com para todo . - A série
é convergente.
O que se pede:
- Mostrar que a série
também é convergente.
Passo 2
Uma consequência imediata da convergência de
é que os termos
tendem a zero. Vou escrever isso em forma matemática e justificar brevemente:
Justificativa curta: se uma série
converge então necessariamente
; caso contrário os termos não iriam a zero e a soma não poderia estabilizar.
Passo 3
Agora precisamos relacionar
com
. Há duas maneiras naturais; eu uso a mais direta e elementar: a desigualdade clássica
Vou provar essa desigualdade de modo simples (cálculo elementar): defina
. Então
pois
. Como
, a função
é crescente e
, logo
para
. Logo
para todo
. Além disso, para
pequeno e positivo tem-se
.
Passo 4
Como
, existe um índice
tal que para todo
vale
(qualquer número positivo serve; escolhi
por simplicidade). Para esses
temos
e portanto, pela desigualdade do passo anterior,
Passo 5
Aplicando o teste da comparação direta ao “cauda” da série: como
para
e
converge, a série
converge (se uma série positiva maior converge, a menor também converge). Os primeiros
termos
são apenas um número finito de termos e somam uma quantidade finita, então somar esses finitíssimos termos à soma convergente da cauda não afeta a convergência. Portanto a série inteira
converge.
Passo 6
Observação alternativa (útil para a prova e para entender a ideia): pode-se também usar o teste da comparação pelo limite. Como
e
, temos
Pelo teste da comparação pelo limite (quando o limite é um número positivo finito),
e
têm o mesmo comportamento; como
converge,
converge. Isso dá a mesma conclusão por outra via.
Resposta
A série
converge.