Como sabemos, se \sum_{n}^{\infty} a_{n} e \sum_{n}^{\infty} b_{n} são séries de termos finitos tais que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=L, L>0 e finito, então ou ambas convergem ou ambas divergem. Mas, também pode-se mostrar que se a série dos b_{n} converge(diverge) e se \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0(\infty), então, a série dos a_{n} converge(diverge). Use estes fatos para mostrar o que se pede:
Se a_{n}>0 e \sum_{n}^{\infty} a_{n} for convergente, mostre que \sum_{n}^{\infty} \operatorname{sen}\left(a_{n}\right) também é convergente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Tem-se uma sequência \{a_n\} com a_n>0 para todo n.
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n é convergente.
O que se pede:
  • Mostrar que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(a_n\bigr) também é convergente.

Passo 2

Uma consequência imediata da convergência de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n é que os termos a_n tendem a zero. Vou escrever isso em forma matemática e justificar brevemente:
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Justificativa curta: se uma série \sum a_n converge então necessariamente a_n\to0; caso contrário os termos não iriam a zero e a soma não poderia estabilizar.

Passo 3

Agora precisamos relacionar \operatorname{sen}(a_n) com a_n. Há duas maneiras naturais; eu uso a mais direta e elementar: a desigualdade clássica
\text{para todo } x\ge0\qquad \operatorname{sen} x \le x.
Vou provar essa desigualdade de modo simples (cálculo elementar): defina f(x)=x-\operatorname{sen} x. Então
f'(x)=1-\cos x \ge 0\quad\text{para todo }x,
pois \cos x\le 1. Como f'(x)\ge0, a função f é crescente e f(0)=0, logo f(x)\ge0 para x\ge0. Logo \operatorname{sen} x\le x para todo x\ge0. Além disso, para x pequeno e positivo tem-se \operatorname{sen} x>0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty} a_n=0, existe um índice N tal que para todo n\ge N vale 0<a_n<1 (qualquer número positivo serve; escolhi 1 por simplicidade). Para esses n temos a_n\ge0 e portanto, pela desigualdade do passo anterior,
0 \le \operatorname{sen}\!\bigl(a_n\bigr) \le a_n\qquad\text{para todo }n\ge N.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação direta ao “cauda” da série: como 0\le \operatorname{sen}(a_n)\le a_n para n\ge N e \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, a série
\sum_{n=N}^{\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(a_n\bigr)
converge (se uma série positiva maior converge, a menor também converge). Os primeiros N-1 termos \operatorname{sen}(a_1),\dots,\operatorname{sen}(a_{N-1}) são apenas um número finito de termos e somam uma quantidade finita, então somar esses finitíssimos termos à soma convergente da cauda não afeta a convergência. Portanto a série inteira \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}(a_n) converge.

Passo 6

Observação alternativa (útil para a prova e para entender a ideia): pode-se também usar o teste da comparação pelo limite. Como a_n\to0 e \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(a_n)}{a_n}=1.
Pelo teste da comparação pelo limite (quando o limite é um número positivo finito), \sum \operatorname{sen}(a_n) e \sum a_n têm o mesmo comportamento; como \sum a_n converge, \sum \operatorname{sen}(a_n) converge. Isso dá a mesma conclusão por outra via.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(a_n\bigr) converge.

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