Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} R .:

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1},
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, devo dizer ainda se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}.
  • O módulo do termo é |a_n|=\dfrac{1}{n+1}.
  • Perguntas: (i) a série converge? (ii) converge absolutamente ou só condicionalmente?

Passo 2

Vou testar primeiro a convergência absoluta: isso significa analisar a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}.
Uma observação simples: a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+1} é apenas a série harmônica deslocada, pois
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} = \Biggl(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\Biggr) - 1.
Como a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k} diverge, então \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+1} também diverge. Conclusão provisória: a série não converge absolutamente.
(Dica curta: outra maneira formal é usar o teste da comparação limite com \dfrac{1}{n}: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1/(n+1)}{1/n}=1, e como \sum 1/n diverge, \sum 1/(n+1) diverge também.)

Passo 3

Agora vou testar a convergência simples da série original, que é alternada por causa do fator (-1)^n. Para séries alternadas costuma-se usar o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada). Vou enunciar e explicar esse teste de forma simples.
Teste de Leibniz (versão prática)
  • Seja uma sequência (b_n) tal que b_n\ge 0 para todo n.
  • Se (i) b_{n+1}\le b_n para todo n grande (ou seja, b_n é eventualmente não crescente) e (ii) \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_nconverge.
Explicação didática: a condição (i) garante que os termos em módulo vão diminuindo; a condição (ii) garante que os termos tendem a zero (obrigatório para convergência de qualquer série). Juntas, elas fazem com que as somas parciais oscilem cada vez menos e se aproximem de um limite.

Passo 4

Aplicando o Teste de Leibniz ao nosso caso:
  • Defino b_n=\dfrac{1}{n+1}. Então b_n\ge 0 para todo n.
  • Verifico monotonicidade: para todo n\ge 1, b_{n+1}=\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1}=b_n,logo (b_n) é estritamente decrescente.
  • Verifico o limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0.
Como ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}
converge.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores:
  • A série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+1} diverge (logo não há convergência absoluta).
  • A série alternada \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1} converge pelo Teste de Leibniz.
Portanto a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 6

Comentário final para a prova (dica prática): ao ver uma série com (-1)^n ou (-1)^{n+1}, tente imediatamente aplicar o Teste de Leibniz verificando (a) se os módulos dos termos formam uma sequência positiva decrescente e (b) se tendem a zero. Para checar convergência absoluta, teste a série dos módulos — muitas vezes ela é uma variante da harmônica e diverge.
Força aí — é normal ficar tenso, mas esse tipo de série aparece muito e o caminho é sempre esse: testar absoluta e depois Leibniz.

Resposta

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} converge condicionalmente.

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