Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, devo dizer ainda se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - O módulo do termo é
. - Perguntas: (i) a série converge? (ii) converge absolutamente ou só condicionalmente?
Passo 2
Vou testar primeiro a convergência absoluta: isso significa analisar a série dos módulos
Uma observação simples: a série
é apenas a série harmônica deslocada, pois
Como a série harmônica
diverge, então
também diverge. Conclusão provisória: a série não converge absolutamente.
(Dica curta: outra maneira formal é usar o teste da comparação limite com
:
, e como
diverge,
diverge também.)
Passo 3
Agora vou testar a convergência simples da série original, que é alternada por causa do fator
. Para séries alternadas costuma-se usar o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada). Vou enunciar e explicar esse teste de forma simples.
Teste de Leibniz (versão prática)
- Seja uma sequência
tal que para todo . - Se (i)
para todo grande (ou seja, é eventualmente não crescente) e (ii) , então a série alternada converge.
Explicação didática: a condição (i) garante que os termos em módulo vão diminuindo; a condição (ii) garante que os termos tendem a zero (obrigatório para convergência de qualquer série). Juntas, elas fazem com que as somas parciais oscilem cada vez menos e se aproximem de um limite.
Passo 4
Aplicando o Teste de Leibniz ao nosso caso:
- Defino
. Então para todo . - Verifico monotonicidade: para todo
, logo é estritamente decrescente. - Verifico o limite:
.
Como ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, a série
converge.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores:
- A série dos módulos
diverge (logo não há convergência absoluta). - A série alternada
converge pelo Teste de Leibniz.
Portanto a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).
Passo 6
Comentário final para a prova (dica prática): ao ver uma série com
ou
, tente imediatamente aplicar o Teste de Leibniz verificando (a) se os módulos dos termos formam uma sequência positiva decrescente e (b) se tendem a zero. Para checar convergência absoluta, teste a série dos módulos — muitas vezes ela é uma variante da harmônica e diverge.
Força aí — é normal ficar tenso, mas esse tipo de série aparece muito e o caminho é sempre esse: testar absoluta e depois Leibniz.