Relacione \delta(t), u(t) e \operatorname{rampa}(t)

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a distribuição de Dirac \delta(t), a função degrau de Heaviside u(t) e a função rampa \mathrm{rampa}(t). Esse é um tópico de sinais e sistemas que usa noções de derivada e integral em sentido de distribuições. Vamos mostrar como cada uma pode ser obtida integrando ou derivando a anterior, assumindo condições nulas para t<0.

Passo 2

A propriedade fundamental da delta é
\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau \;=\;u(t),
pois para t<0 a integral é zero e para t>0 é 1. Daí, em sentido de distribuições, obtemos
\delta(t)\;=\;\frac{d}{dt}\,u(t).

Passo 3

A função rampa pode ser definida como a integral de u(t):
\mathrm{rampa}(t)\;=\;\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,d\tau,
o que, por um outro ponto de vista, equivale a
\mathrm{rampa}(t)=t\,u(t).
Derivando em t, em sentido de distribuições, vem
\frac{d}{dt}\,\mathrm{rampa}(t)\;=\;u(t).

Passo 4

Encadeando as duas relações de derivada, concluímos que
\delta(t)\;=\;\frac{d}{dt}\,u(t) \quad\text{e}\quad u(t)\;=\;\frac{d}{dt}\,\mathrm{rampa}(t) \;\Longrightarrow\; \delta(t)\;=\;\frac{d^2}{dt^2}\,\mathrm{rampa}(t).

Resposta

u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau, \quad \delta(t)=\frac{d}{dt}\,u(t), \quad \mathrm{rampa}(t)=\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,d\tau, \quad u(t)=\frac{d}{dt}\,\mathrm{rampa}(t), \quad \delta(t)=\frac{d^2}{dt^2}\,\mathrm{rampa}(t).

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