Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos
é uma entrada qualquer,
é a resposta à entrada
e
é o degrau unitário.
a)
a)
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema discreto descrito pela lei
O que o exercício pede, para este sistema, é determinar:
- se ele é causal ou não;
- se ele tem memória (possui memória) ou é sem memória;
- se é linear ou não linear;
- se é variante no tempo ou invariante no tempo.
Informações dadas: a expressão acima é a relação entrada-saída válida para todo
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Definição e teste de causalidade (explicação didática).
- Definição (forma simples): um sistema é causal quando, para calcular a saída em tempo
, só são necessárias amostras da entrada em instantes iguais ou anteriores a . Em outras palavras, não pode depender de amostras futuras com . - Aplicando ao sistema dado: a saída em
é construída a partir de e . - Observe que os índices usados são
(amostra presente) e (amostra passada). - Não aparece nenhum termo do tipo
, etc. (amostras futuras).
- Observe que os índices usados são
- Conclusão lógica (sem rótulo final): para avaliar
bastam valores de com .
Passo 3
Definição e teste de memória (explicação didática).
- Definição (forma simples): um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada
, depende apenas de . Se depende de em outros instantes além de , o sistema possui memória. - Aplicando ao sistema: além de
aparece o termo , que é uma amostra de instante diferente de . - Conclusão lógica: a saída em
depende de uma amostra passada , portanto há dependência temporal além do instante presente.
Passo 4
Definição e prova de linearidade (explicação didática e formal).
- Definição (forma prática): um sistema é linear se satisfaz superposição e homogeneidade; isto é, para quaisquer sinais
, e escalares ,
see então a entrada deve produzir . - Vamos verificar algebraicamente. Seja
. A saída correspondente é - Conclusão lógica: a expressão mostrou que superposição e homogeneidade valem exatamente para esse sistema.
Passo 5
Definição e teste de invariância no tempo (explicação didática).
- Definição (forma prática): um sistema é invariante no tempo se deslocar a entrada no tempo resulta no mesmo deslocamento na saída. Formalmente, se
, então deve mapear para para todo deslocamento inteiro . - Verificação direta: seja
. A saída correspondente é Por outro lado, a saída original deslocada é As duas expressões são idênticas para todo e todo . - Conclusão lógica: deslocar a entrada desloca a saída da mesma forma; o comportamento do sistema não muda com o tempo.
Passo 6
Resumo das evidências (sem repetir o formato final exigido).
- Para a propriedade ligada ao tempo de dependência: só aparecem índices
, não há dependência de futuros. - Para memória: existe dependência de
, logo a saída depende de instantes diferentes de . - Para linearidade: a expressão é soma e multiplicação por constantes aplicada sobre
e suas amostras atrasadas; a verificação algébrica mostra que superposição e homogeneidade valem. - Para invariância no tempo: o atraso fixo de 2 amostras é um operador que não muda com o tempo, o teste de deslocamento mostra igualdade.
Resposta
Causal
Possui memória
Linear
Invariante no tempo
Possui memória
Linear
Invariante no tempo