Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos x[n] é uma entrada qualquer, y[n] é a resposta à entrada x[n] e u[n] é o degrau unitário.
a) y[n]=x[n]+2 x[n-2]

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema discreto descrito pela lei
y[n]=x[n]+2\,x[n-2].
O que o exercício pede, para este sistema, é determinar:
  • se ele é causal ou não;
  • se ele tem memória (possui memória) ou é sem memória;
  • se é linear ou não linear;
  • se é variante no tempo ou invariante no tempo.
Informações dadas: a expressão acima é a relação entrada-saída válida para todo n. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Definição e teste de causalidade (explicação didática).
  • Definição (forma simples): um sistema é causal quando, para calcular a saída em tempo n, só são necessárias amostras da entrada em instantes iguais ou anteriores a n. Em outras palavras, não pode depender de amostras futuras x[k] com k>n.
  • Aplicando ao sistema dado: a saída em n é construída a partir de \,x[n]\, e \,x[n-2]\,.
    • Observe que os índices usados são n (amostra presente) e n-2 (amostra passada).
    • Não aparece nenhum termo do tipo x[n+1], x[n+2] etc. (amostras futuras).
  • Conclusão lógica (sem rótulo final): para avaliar y[n] bastam valores de x[k] com k\le n.

Passo 3

Definição e teste de memória (explicação didática).
  • Definição (forma simples): um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada n, y[n] depende apenas de x[n]. Se y[n] depende de x em outros instantes além de n, o sistema possui memória.
  • Aplicando ao sistema: além de x[n] aparece o termo x[n-2], que é uma amostra de instante diferente de n.
  • Conclusão lógica: a saída em n depende de uma amostra passada x[n-2], portanto há dependência temporal além do instante presente.

Passo 4

Definição e prova de linearidade (explicação didática e formal).
  • Definição (forma prática): um sistema é linear se satisfaz superposição e homogeneidade; isto é, para quaisquer sinais x_1[n], x_2[n] e escalares a,b,
    se x_1[n]\mapsto y_1[n] e x_2[n]\mapsto y_2[n] então a entrada a\,x_1[n]+b\,x_2[n] deve produzir a\,y_1[n]+b\,y_2[n].
  • Vamos verificar algebraicamente. Seja x'[n]=a\,x_1[n]+b\,x_2[n]. A saída correspondente é \begin{aligned} y'[n] &= x'[n] + 2\,x'[n-2] \\\ &= \bigl(a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\bigr) + 2\bigl(a\,x_1[n-2]+b\,x_2[n-2]\bigr) \\\ &= a\bigl(x_1[n]+2\,x_1[n-2]\bigr) + b\bigl(x_2[n]+2\,x_2[n-2]\bigr) \\\ &= a\,y_1[n] + b\,y_2[n]. \end{aligned}
  • Conclusão lógica: a expressão mostrou que superposição e homogeneidade valem exatamente para esse sistema.

Passo 5

Definição e teste de invariância no tempo (explicação didática).
  • Definição (forma prática): um sistema é invariante no tempo se deslocar a entrada no tempo resulta no mesmo deslocamento na saída. Formalmente, se x[n]\mapsto y[n], então x[n-n_0] deve mapear para y[n-n_0] para todo deslocamento inteiro n_0.
  • Verificação direta: seja x'[n]=x[n-n_0]. A saída correspondente é \begin{aligned} y'[n] &= x'[n] + 2\,x'[n-2] \\\ &= x[n-n_0] + 2\,x[n-n_0-2]. \end{aligned}Por outro lado, a saída original deslocada é y[n-n_0]=x[n-n_0]+2\,x[n-n_0-2].As duas expressões são idênticas para todo n e todo n_0.
  • Conclusão lógica: deslocar a entrada desloca a saída da mesma forma; o comportamento do sistema não muda com o tempo.

Passo 6

Resumo das evidências (sem repetir o formato final exigido).
  • Para a propriedade ligada ao tempo de dependência: só aparecem índices \le n, não há dependência de futuros.
  • Para memória: existe dependência de x[n-2], logo a saída depende de instantes diferentes de n.
  • Para linearidade: a expressão é soma e multiplicação por constantes aplicada sobre x e suas amostras atrasadas; a verificação algébrica mostra que superposição e homogeneidade valem.
  • Para invariância no tempo: o atraso fixo de 2 amostras é um operador que não muda com o tempo, o teste de deslocamento mostra igualdade.

Resposta

Causal
Possui memória
Linear
Invariante no tempo

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