Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro
e o raio
. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pede: determinar se
é um círculo. Caso afirmativo, achar o centro
e o raio
. Caso negativo, identificar o subconjunto.
Informações relevantes do enunciado:
- Equação dada:
- Objetivo: verificar se essa equação representa um círculo e, se sim, calcular
e .
Passo 2
Vamos lembrar a forma geral e como reconhecer um círculo (aula rápida e prática).
Forma geral de uma circunferência no plano (quando os coeficientes de
e
são iguais e não nulos) pode ser escrita como
onde
são constantes. Para transformar essa forma na forma padrão (centro-raio) usa‑se o método de completar o quadrado. A ideia do completar o quadrado para uma expressão quadrática em
é:
- Para
, somar e subtrair para escrever como um quadrado perfeito:
Aplicando isso também em
, obtemos (após reagrupar termos)
Daí se define:
- Centro
. - Raio
, desde que o valor dentro da raiz seja positivo.
Observação importante: se o lado direito for
- positivo
circunferência com raio ; - zero
um ponto (circunferência degenerada, raio ); - negativo
nenhum ponto real satisfaz a equação (conjunto vazio).
Passo 3
Aplicando a técnica ao caso concreto. Primeiro simplifico dividindo a equação original por
(isso é permitido e facilita os coeficientes):
Agora identifico os coeficientes na forma
:
Usando a fórmula do centro:
E para o raio:
Calculo passo a passo os termos dentro da raiz:
Somando:
Logo
Passo 4
Verificação por completar o quadrado explicitamente (confirmação prática, mostrando como fazer isso na prova):
Parto de
Completo quadrados separadamente:
Somando:
Reagrupando constantes à direita:
Isto é a forma padrão de uma circunferência:
confirmando que é um círculo de centro
e raio
.
Resposta
É um círculo.
Centro:
Raio:
Centro:
Raio: