Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
\mathcal{S}=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+4 y^{2}-4 x+8 y-20=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
\mathcal{S}=\{(x,y)\mid 4x^{2}+4y^{2}-4x+8y-20=0\}
e pede: determinar se \mathcal{S} é um círculo. Caso afirmativo, achar o centro C e o raio r. Caso negativo, identificar o subconjunto.
Informações relevantes do enunciado:
  • Equação dada: \;4x^{2}+4y^{2}-4x+8y-20=0.
  • Objetivo: verificar se essa equação representa um círculo e, se sim, calcular C e r.

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral e como reconhecer um círculo (aula rápida e prática).
Forma geral de uma circunferência no plano (quando os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais e não nulos) pode ser escrita como
x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0,
onde D,E,F são constantes. Para transformar essa forma na forma padrão (centro-raio) usa‑se o método de completar o quadrado. A ideia do completar o quadrado para uma expressão quadrática em x é:
  • Para x^{2}+Dx, somar e subtrair \left(\dfrac{D}{2}\right)^{2} para escrever como um quadrado perfeito:
x^{2}+Dx = \left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}-\left(\frac{D}{2}\right)^{2}.
Aplicando isso também em y, obtemos (após reagrupar termos)
\left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2}=\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-F.
Daí se define:
  • Centro C = \left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right).
  • Raio r = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{E}{2}\right)^{2}-F}, desde que o valor dentro da raiz seja positivo.
Observação importante: se o lado direito for
  • positivo \Rightarrow circunferência com raio r>0;
  • zero \Rightarrow um ponto (circunferência degenerada, raio 0);
  • negativo \Rightarrow nenhum ponto real satisfaz a equação (conjunto vazio).

Passo 3

Aplicando a técnica ao caso concreto. Primeiro simplifico dividindo a equação original por 4 (isso é permitido e facilita os coeficientes):
4x^{2}+4y^{2}-4x+8y-20=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}-x+2y-5=0.
Agora identifico os coeficientes na forma x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0:
D=-1,\qquad E=2,\qquad F=-5.
Usando a fórmula do centro:
C=\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)=\left(-\frac{-1}{2}, -\frac{2}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}, -1\right).
E para o raio:
r=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-F} =\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(1\right)^{2}-(-5)}.
Calculo passo a passo os termos dentro da raiz:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4},\qquad 1^{2}=1,\qquad -F=5.
Somando:
\frac{1}{4}+1+5=\frac{1}{4}+\frac{4}{4}+\frac{20}{4}=\frac{25}{4}.
Logo
r=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}.

Passo 4

Verificação por completar o quadrado explicitamente (confirmação prática, mostrando como fazer isso na prova):
Parto de
x^{2}-x + y^{2}+2y = 5.
Completo quadrados separadamente:
x^{2}-x = \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}, \qquad y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1.
Somando:
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} + (y+1)^{2}-1 = 5.
Reagrupando constantes à direita:
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} + (y+1)^{2} = 5 + \frac{1}{4} + 1 = \frac{25}{4}.
Isto é a forma padrão de uma circunferência:
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} + (y+1)^{2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2},
confirmando que é um círculo de centro C=\left(\tfrac{1}{2},-1\right) e raio r=\tfrac{5}{2}.

Resposta

É um círculo.
Centro: C=\left(\tfrac{1}{2},-1\right)
Raio: r=\tfrac{5}{2}

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