Determine a equação do círculo que satisfaz a propriedade dada:
Centro em ( -4,6 ) passando por ( 1,2 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação do círculo que tem centro em (-4,6) e passa pelo ponto (1,2).
Informações dadas:
  • Centro: (-4,6).
  • Um ponto pertencente ao círculo: (1,2).
    O que se quer: a equação do círculo (pode ser a forma padrão com raio ou a forma geral).

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a equação de um círculo de centro (h,k) e raio r é
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.
Aqui:
  • h é a coordenada x do centro,
  • k é a coordenada y do centro,
  • r é o raio do círculo (distância do centro a qualquer ponto do círculo).
    Para encontrar r usamos a fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Isso vale porque o raio é justamente a distância do centro ao ponto dado.

Passo 3

Vamos calcular o raio usando o centro (-4,6) e o ponto (1,2). Aplicando a fórmula da distância:
r=\sqrt{(1-(-4))^2+(2-6)^2}.
Calcule passo a passo:
1-(-4)=5,\qquad 2-6=-4,
5^2=25,\qquad (-4)^2=16,
r=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}.
Portanto fica prático guardar r^2=41 (assim evitamos raiz nas contas).

Passo 4

Agora substituímos h=-4, k=6 e r^2=41 na forma padrão (x-h)^2+(y-k)^2=r^2. Isso dá a equação na forma centro-raio:
(x-(-4))^2+(y-6)^2=41.
Simplificando o sinal duplo:
(x+4)^2+(y-6)^2=41.

Passo 5

Se quiser a forma geral do polinômio (muito útil em algumas provas), expandimos:
(x+4)^2+(y-6)^2=41
x^2+8x+16 + y^2-12y+36 = 41.
Some os termos constantes da esquerda:
x^2+y^2+8x-12y+(16+36-41)=0.
Calcule 16+36-41=11. Logo a forma geral é
x^2+y^2+8x-12y+11=0.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): substituir o ponto (1,2) em x^2+y^2+8x-12y+11:
1^2+2^2+8\cdot1-12\cdot2+11 = 1+4+8-24+11 = 0,
confirmando que o ponto pertence ao círculo. Boa sinal — tudo batendo certinho!

Passo 7

Resumo amigo: achamos o raio com a fórmula da distância, colocamos na forma padrão e expandimos para a forma geral. Se quiser memorização rápida: sempre calcule r^2 primeiro (evita raiz) e depois substitua em (x-h)^2+(y-k)^2=r^2. Você está indo bem — continue praticando!

Resposta

(x+4)^2+(y-6)^2=41
x^2+y^2+8x-12y+11=0

Exercícios relacionados