Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
\mathcal{S}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-7=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
\mathcal{S}=\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}-2x+4y-7=0\right\}.
Pergunta: determinar se \mathcal{S} é um círculo. Caso afirmativo, achar o centro C e o raio r. Caso negativo, identificar qual é o subconjunto (por exemplo: ponto, reta, conjunto vazio, curva não circular, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação implicada é x^{2}+y^{2}-2x+4y-7=0.
  • Coeficientes dos termos quadráticos em x e y são ambos 1.
  • Há termos lineares -2x e +4y e uma constante -7.

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): para reconhecer um círculo, é conveniente reescrever a equação na forma padrão de um círculo.
A forma padrão de um círculo no plano é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde:
  • (a,b) é o centro do círculo,
  • r\ge 0 é o raio,
  • e r^{2} é o termo do lado direito.
Técnica que vamos usar: completar o quadrado nos termos que envolvem x e y. Completar o quadrado significa transformar uma expressão quadrática do tipo x^{2}+px em algo do tipo (x+\frac{p}{2})^{2} menos um ajuste constante. Exemplos rápidos:
  • x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
  • y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4, porque (y+2)^{2}=y^{2}+4y+4.
Vou aplicar isso passo a passo à equação dada.

Passo 3

Grupo os termos em x e em y e aplico completar o quadrado:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.
Substituindo essas expressões na equação original \,x^{2}+y^{2}-2x+4y-7=0\, obtemos
\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) + \bigl((y+2)^{2}-4\bigr) -7 = 0.

Passo 4

Agora simplifico os termos constantes:
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} -1 -4 -7 = 0.
Somando os constantes temos -1-4-7 = -12. Então
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} -12 = 0.
Isolando o lado com os quadrados:
(x-1)^{2} + (y+2)^{2} = 12.

Passo 5

Comparando com a forma padrão (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, identificamos:
  • centro C=(a,b)=(1,-2),
  • r^{2}=12, portanto o raio é r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Também vale comentar a interpretação: como r^{2}=12>0, o conjunto \mathcal{S} é realmente um círculo (não é um ponto isolado nem conjunto vazio).

Resposta

É um círculo com centro C=(1,-2) e raio r=2\sqrt{3}.

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