Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro
e o raio
. Caso negativo, identifique o subconjunto.
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
.
Pergunta: determinar se é um círculo. Caso afirmativo, achar o centro
e o raio
. Caso negativo, identificar qual é o subconjunto (por exemplo: ponto, reta, conjunto vazio, curva não circular, etc.).
Pergunta: determinar se
Informações relevantes fornecidas:
- A equação implicada é
. - Coeficientes dos termos quadráticos em
e são ambos . - Há termos lineares
e e uma constante .
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente): para reconhecer um círculo, é conveniente reescrever a equação na forma padrão de um círculo.
A forma padrão de um círculo no plano é
A forma padrão de um círculo no plano é
onde:
-
é o centro do círculo, -
é o raio, - e
é o termo do lado direito.
Técnica que vamos usar: completar o quadrado nos termos que envolvem
e
. Completar o quadrado significa transformar uma expressão quadrática do tipo
em algo do tipo
menos um ajuste constante. Exemplos rápidos:
-
, porque . -
, porque .
Vou aplicar isso passo a passo à equação dada.
Passo 3
Grupo os termos em
e em
e aplico completar o quadrado:
Substituindo essas expressões na equação original
obtemos
Passo 4
Agora simplifico os termos constantes:
Somando os constantes temos
. Então
Isolando o lado com os quadrados:
Passo 5
Comparando com a forma padrão
, identificamos:
- centro
, -
, portanto o raio é .
Também vale comentar a interpretação: como
, o conjunto
é realmente um círculo (não é um ponto isolado nem conjunto vazio).
Resposta
É um círculo com centro
e raio
.