Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T(x, y)=(2 y, 3 y-x)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y) = (2y,\;3y - x)
e pede para decidir se T é isomorfismo. O conteúdo aqui é identificar invertibilidade de uma transformação linear via matriz associada e determinante.

Passo 2

Vamos representar T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Se (x,y) é o vetor coluna, então
T(x,y) = \begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\\ y \end{pmatrix}.
Logo, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}0 & 2\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Para verificar se T é isomorfismo, calculamos \det(A).
\det(A) = 0\cdot 3 - (2\cdot(-1)) = 2.
Como \det(A)\neq 0, a matriz é invertível e, portanto, T é isomorfismo.

Passo 4

Para achar T^{-1}, escrevemos
(u,v) = T(x,y) = (2y,\;3y - x)
e resolvemos em função de (u,v).
Da primeira coordenada, u = 2y implica
y = \frac{u}{2}.
Na segunda, v = 3y - x
x = 3y - v = 3\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) - v = \frac{3u - 2v}{2}.
Logo,
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{3u - 2v}{2},\;\tfrac{u}{2}\Bigr).

Resposta

T é isomorfismo.
A inversa é
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{3u - 2v}{2},\;\tfrac{u}{2}\Bigr).

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