[08] Encontrar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{ger}\{(2,3,-1,1),(1,0,4,-3)\}

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear \,T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4
cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores \,(2,3,-1,1) e (1,0,4,-3).
O conteúdo aqui é definir T de forma que \Im(T)=\span\{(2,3,-1,1),(1,0,4,-3)\}.

Passo 2

Para que \Im(T) tenha dimensão 2 e seja gerado por esses dois vetores, basta atribuir as imagens de uma base de \mathbb{R}^3 de modo que sobrará um vetor no núcleo. Logo, a dimensão do núcleo será 3-2=1, garantindo \rank(T)=2.

Passo 3

Escolhemos a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3 e definimos
T(e_1) = (2,3,-1,1), \quad T(e_2) = (1,0,4,-3), \quad T(e_3) = (0,0,0,0).
Assim \Im(T)=\span\{T(e_1),T(e_2)\}=\span\{(2,3,-1,1),(1,0,4,-3)\}.

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, usando linearidade temos
T(x,y,z) = x\,T(e_1) + y\,T(e_2) + z\,T(e_3) = x\,(2,3,-1,1) + y\,(1,0,4,-3) + z\,(0,0,0,0).
Portanto
T(x,y,z) = \bigl(2x+y,\;3x,\;-x+4y,\;x-3y\bigr).

Resposta

A transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 é dada por
T(x,y,z) = \bigl(2x+y,\;3x,\;-x+4y,\;x-3y\bigr),
cuja matriz em relação às bases canônicas é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 0 & 0\\\\ -1 & 4 & 0\\\\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix},
e satisfaz \Im(T)=\span\{(2,3,-1,1),(1,0,4,-3)\}.

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