Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa. T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow M(2,2) onde T\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right)=\left[\begin{array}{cc}b & -d \\\ c-a & a-b\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear \;T\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to M(2,2)
por
T\bigl(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\bigr) =\begin{pmatrix} b & -d\\[6pt] c - a & a - b \end{pmatrix}.
Tanto \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) quanto M(2,2) têm dimensão 4. Queremos decidir se T é um isomorfismo e, em caso afirmativo, determinar T^{-1}.]
Passo 2
Para ser isomorfismo T deve ser bijetora. Em espaços vetoriais de mesma dimensão finita, basta mostrar que T é injetora, ou seja, que
\ker(T)=\{0\}.
Resolvemos T(a x^{3}+b x^{2}+c x+d)=0, o que dá o sistema de equações em (a,b,c,d):
\begin{cases} b=0,\\\\ -d=0,\\\ c - a=0,\\\ a - b=0. \end{cases}
Passo 3
Das duas primeiras equações vêm
b=0, \quad d=0.
Da quarta equação e b=0 segue
a-b=0 \;\Rightarrow\; a=0.
Da terceira equação e a=0 segue
c - a=0 \;\Rightarrow\; c=0.
Logo a=b=c=d=0, ou seja, \ker(T)=\{0\} e T é injetora.
Passo 4
Como \dim\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})=\dim M(2,2)=4 e T é injetora, T é sobrejetora e portanto bijetora. Logo T é um isomorfismo. Resta achar explicitamente T^{-1}.