Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow M(2,2) onde T\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right)=\left[\begin{array}{cc}b & -d \\\ c-a & a-b\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear \;T\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to M(2,2)
por
T\bigl(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\bigr) =\begin{pmatrix} b & -d\\[6pt] c - a & a - b \end{pmatrix}.
Tanto \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) quanto M(2,2) têm dimensão 4. Queremos decidir se T é um isomorfismo e, em caso afirmativo, determinar T^{-1}.]

Passo 2

Para ser isomorfismo T deve ser bijetora. Em espaços vetoriais de mesma dimensão finita, basta mostrar que T é injetora, ou seja, que
\ker(T)=\{0\}.
Resolvemos T(a x^{3}+b x^{2}+c x+d)=0, o que dá o sistema de equações em (a,b,c,d):
\begin{cases} b=0,\\\\ -d=0,\\\ c - a=0,\\\ a - b=0. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações vêm
b=0, \quad d=0.
Da quarta equação e b=0 segue
a-b=0 \;\Rightarrow\; a=0.
Da terceira equação e a=0 segue
c - a=0 \;\Rightarrow\; c=0.
Logo a=b=c=d=0, ou seja, \ker(T)=\{0\} e T é injetora.

Passo 4

Como \dim\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})=\dim M(2,2)=4 e T é injetora, T é sobrejetora e portanto bijetora. Logo T é um isomorfismo. Resta achar explicitamente T^{-1}.

Passo 5

Seja
M=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12}\\[6pt] m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}\in M(2,2).
Procuramos a,b,c,d tais que
T(a x^{3}+b x^{2}+c x+d)=M.
Comparando entradas:
b = m_{11},\quad -d = m_{12}\;\Rightarrow\;d=-m_{12},\quad c - a = m_{21},\quad a - b = m_{22}.
Da última equação e b=m_{11} segue
a = m_{22} + b = m_{11} + m_{22}.
Então
c = a + m_{21} = (m_{11} + m_{22}) + m_{21}.
Portanto
T^{-1}(M) =(m_{11}+m_{22})\,x^{3} + m_{11}\,x^{2} +\bigl(m_{11}+m_{22}+m_{21}\bigr)\,x - m_{12}.]

Resposta

T é isomorfismo e, para \;M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\[4pt]m_{21}&m_{22}\end{pmatrix},
T^{-1}(M) =(m_{11}+m_{22})\,x^{3} + m_{11}\,x^{2} +\bigl(m_{11}+m_{22}+m_{21}\bigr)\,x - m_{12}.]

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