Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
T: M(2,3) \rightarrow \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) onde T\left(\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f\end{array}\right]\right)=(7 a-5 f) x^{4}-d x^{2}+(2 c+3 e) x+9 b,

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon M(2,3)\to \mathcal{P}_4(\mathbb{R}),
onde para \displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\end{pmatrix}
temos
T(X)=(7a-5f)x^4 - d\,x^2 + (2c+3e)x + 9b.
O objetivo é verificar se T é um isomorfismo e, em caso afirmativo, encontrar T^{-1}.

Passo 2

Para que T seja isomorfismo, ela deve ser bijetora. Em espaços de dimensão finita isso equivale a ser injetora ou a ser sobrejetora, e só pode ocorrer se
\dim M(2,3)=\dim \mathcal{P}_4(\mathbb{R}).
Calculamos
\dim M(2,3)=2\cdot 3=6,
pois uma matriz 2\times3 tem 6 entradas livres, e
\dim \mathcal{P}_4(\mathbb{R})=5,
pois um polinômio de grau até 4 tem 5 coeficientes.

Passo 3

Como \dim M(2,3)=6\neq 5=\dim \mathcal{P}_4(\mathbb{R}), não há como T ser bijetora. De fato, o coeficiente de x^3 em T(X) é sempre zero, logo T nem é sobrejetora. Concluímos que T não é um isomorfismo.

Resposta

A transformação T não é um isomorfismo.

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