Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa.
onde
,
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
onde para
temos
temos
O objetivo é verificar se
é um isomorfismo e, em caso afirmativo, encontrar
.
Passo 2
Para que
seja isomorfismo, ela deve ser bijetora. Em espaços de dimensão finita isso equivale a ser injetora ou a ser sobrejetora, e só pode ocorrer se
Calculamos
pois uma matriz
tem 6 entradas livres, e
pois um polinômio de grau até 4 tem 5 coeficientes.
Passo 3
Como
, não há como
ser bijetora. De fato, o coeficiente de
em
é sempre zero, logo
nem é sobrejetora. Concluímos que
não é um isomorfismo.
Resposta
A transformação
não é um isomorfismo.