Determine quais das seguintes transformações são aplicações lineares:
T(x, y)=(x+y, x-y)
T(x, y)=(x+y, x-y)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é uma aplicação linear. Para isso, vamos usar a definição:
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Vamos verificar a aditividade. Se
e
, então
e
Note que a última expressão é exatamente
Passo 3
Agora verificamos a homogeneidade. Para um escalar
e vetor
, temos
logo
Passo 4
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma aplicação linear.
Resposta
A transformação
é uma aplicação linear.