Determine quais das seguintes transformações são aplicações lineares:
T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (x+y,\;x-y)
é uma aplicação linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \alpha, valem
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) (aditividade)
  2. T(\alpha u) = \alpha\,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Vamos verificar a aditividade. Se u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2), então
u+v = (x_1 + x_2,\;y_1 + y_2)
e
T(u+v) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\bigr) = (x_1+y_1,\;x_1-y_1) + (x_2+y_2,\;x_2-y_2).
Note que a última expressão é exatamente
T(u) + T(v).

Passo 3

Agora verificamos a homogeneidade. Para um escalar \alpha e vetor u=(x,y), temos
\alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha y),
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T(\alpha u) = \bigl(\alpha x + \alpha y,\;\alpha x - \alpha y\bigr) = \alpha\,(x+y,\;x-y) = \alpha\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma aplicação linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=(x+y,\;x-y) é uma aplicação linear.

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