Determine a equação geral da reta s que é perpendicular à reta r: 2 x-y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral da reta s que seja perpendicular à reta
r: 2x - y + 3 = 0.
O conteúdo principal aqui é o coeficiente angular de retas e a relação de perpendicularidade, que diz que, se uma reta tem coeficiente angular m, qualquer reta perpendicular a ela terá coeficiente angular -1/m.

Passo 2

Escrevemos a reta r em forma explícita y = mx + b. Partindo de
2x - y + 3 = 0
temos
-y = -2x - 3
y = 2x + 3.
Logo o coeficiente angular de r é m_r = 2.

Passo 3

Pela condição de perpendicularidade, o coeficiente angular de s será
m_s = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{2}.

Passo 4

A família de todas as retas com coeficiente angular m_s é dada por
y = -\tfrac12 x + b,
onde b é um parâmetro real que determina a posição da reta.

Passo 5

Para obter a forma geral Ax + By + C = 0, multiplicamos por 2:
2y = -x + 2b
x + 2y - 2b = 0.
Basta definir C = -2b e obtemos a equação geral da família de retas desejada:
x + 2y + C = 0,\quad C\in\mathbb{R}.

Resposta

x + 2y + C = 0
com C \in \mathbb{R}.

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