Sejam \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right), \vec{v}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) e \vec{w}=(0,0,-1) vetores 3.um base ortonormal.Mostre que \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} forma uma base ortonormal. Em relação a uma base ortonormal positiva \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} ,calcule a distância do ponto C(1,-3,2) à reta que passa por dois pontos distintos A(1,1,1) e B(2,0,-1) .
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2},0\bigr), \vec{v}=\bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\bigr) e \vec{w}=(0,0,-1)
em \mathbb{R}^3, e pede duas coisas:
Mostrar que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base ortonormal.
Calcular, na base ortonormal positiva \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}, a distância do ponto C(1,-3,2) à reta determinada por A(1,1,1) e B(2,0,-1).
Para isso vamos usar produto escalar, normas, produto vetorial e a fórmula