Sejam \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right), \vec{v}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) e \vec{w}=(0,0,-1) vetores 3.um base ortonormal.Mostre que \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} forma uma base ortonormal. Em relação a uma base ortonormal positiva \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} ,calcule a distância do ponto C(1,-3,2) à reta que passa por dois pontos distintos A(1,1,1) e B(2,0,-1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2},0\bigr),
\vec{v}=\bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\bigr) e
\vec{w}=(0,0,-1)
em \mathbb{R}^3, e pede duas coisas:
  1. Mostrar que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base ortonormal.
  2. Calcular, na base ortonormal positiva \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}, a distância do ponto C(1,-3,2) à reta determinada por A(1,1,1) e B(2,0,-1).
    Para isso vamos usar produto escalar, normas, produto vetorial e a fórmula
d=\frac{\bigl\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}\bigr\|}{\|\overrightarrow{AB}\|}.

Passo 2

Verificamos a ortogonalidade calculando os produtos escalares:
\vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigl(-\frac12\Bigr) +\frac12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} +0\cdot0 =-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0,
\vec{u}\cdot\vec{w} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0 +\frac12\cdot0 +0\cdot(-1)=0,
\vec{v}\cdot\vec{w} =-\frac12\cdot0 +\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0 +0\cdot(-1)=0.
Como todos são zero, os vetores são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Agora conferimos que cada vetor tem norma unitária:
\|\vec{u}\|^2 =\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2+0^2 =\frac34+\frac14=1,
\|\vec{v}\|^2 =\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2+0^2 =\frac14+\frac34=1,
\|\vec{w}\|^2=0^2+0^2+(-1)^2=1.
Logo \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=\|\vec{w}\|=1.

Passo 4

Como são mutuamente ortogonais e de norma 1, \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é de fato uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.

Passo 5

Para a distância, fixamos
\overrightarrow{AB}=\bigl(2-1,\;0-1,\;-1-1\bigr)=(1,-1,-2)
e
\overrightarrow{AC}=\bigl(1-1,\;-3-1,\;2-1\bigr)=(0,-4,1).

Passo 6

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB} =\det\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\\ 0&-4&1\\\\ 1&-1&-2\end{pmatrix} =9\,\vec{i}+1\,\vec{j}+4\,\vec{k},
cuja norma é
\bigl\|9\,\vec{i}+\vec{j}+4\,\vec{k}\bigr\| =\sqrt{9^2+1^2+4^2} =\sqrt{98} =7\sqrt{2}.

Passo 7

Também
\|\overrightarrow{AB}\| =\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2} =\sqrt{6}.
Portanto a distância é
d =\frac{\|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}\|}{\|\overrightarrow{AB}\|} =\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{6}} =7\sqrt{\frac{2}{6}} =7\sqrt{\frac{1}{3}} =\frac{7\sqrt{3}}{3}.

Resposta

A família \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base ortonormal, e a distância do ponto C à reta AB é
\frac{7\sqrt{3}}{3}.

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