Encontre o ponto simétrico ao A=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right) em relação
a reta \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) \quad.
ou seja, a reta passa pelo ponto P_0=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} e tem direção v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A pergunta é: encontrar o ponto simétrico de A em relação a essa reta (isto é, o reflexo de A pela reta).]
Passo 2
Estratégia (somente descrição da etapa a ser aplicada, sem cálculo): o reflexo de A em relação à reta é obtido assim:
projetamos o vetor (A-P_0) sobre a direção v para achar o ponto H da reta mais próximo de A (pé da perpendicular).
o reflexo A' é o ponto tal que H é o ponto médio de AA'. Logo A'=2H-A.
Antes de calcular, vou explicar a fórmula da projeção e do produto interno para você não se perder.
Passo 3
Produto escalar e projeção — mini-aula prática:
Para dois vetores x e y em \mathbb{R}^n, o produto escalar (ou dot product) é
x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n.
A projeção escalar de x na direção de y (quando y\neq 0) usa o parâmetro
t = \frac{x\cdot y}{y\cdot y}.
Esse t é o escalar que multiplica y para obter a projeção ortogonal de x sobre a reta gerada por y. Em termos de pontos, se queremos projetar A sobre a reta que passa por P_0 com direção v, tomamos x=A-P_0 e a projeção (o pé H) é
H = P_0 + t\,v,\quad \text{com } t=\frac{(A-P_0)\cdot v}{v\cdot v}.
v\cdot v = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =1+0+1+1=3,
(A-P_0)\cdot v = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =0+0+(-2)\cdot1+(-1)\cdot1=-3.