Encontre o ponto simétrico ao A=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right) em relação
a reta \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right) \quad.

Passo 1

O enunciado dá o ponto
A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}
e a reta em forma paramétrica
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja, a reta passa pelo ponto P_0=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} e tem direção v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A pergunta é: encontrar o ponto simétrico de A em relação a essa reta (isto é, o reflexo de A pela reta).]

Passo 2

Estratégia (somente descrição da etapa a ser aplicada, sem cálculo): o reflexo de A em relação à reta é obtido assim:
  1. projetamos o vetor (A-P_0) sobre a direção v para achar o ponto H da reta mais próximo de A (pé da perpendicular).
  2. o reflexo A' é o ponto tal que H é o ponto médio de AA'. Logo A'=2H-A.
Antes de calcular, vou explicar a fórmula da projeção e do produto interno para você não se perder.

Passo 3

Produto escalar e projeção — mini-aula prática:
  • Para dois vetores x e y em \mathbb{R}^n, o produto escalar (ou dot product) é
x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n.
  • A projeção escalar de x na direção de y (quando y\neq 0) usa o parâmetro
t = \frac{x\cdot y}{y\cdot y}.
Esse t é o escalar que multiplica y para obter a projeção ortogonal de x sobre a reta gerada por y. Em termos de pontos, se queremos projetar A sobre a reta que passa por P_0 com direção v, tomamos x=A-P_0 e a projeção (o pé H) é
H = P_0 + t\,v,\quad \text{com } t=\frac{(A-P_0)\cdot v}{v\cdot v}.

Passo 4

Calcule o vetor (A-P_0):
A-P_0 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcule os produtos escalares necessários:
v\cdot v = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =1+0+1+1=3,
(A-P_0)\cdot v = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =0+0+(-2)\cdot1+(-1)\cdot1=-3.
Portanto
t=\frac{(A-P_0)\cdot v}{v\cdot v}=\frac{-3}{3}=-1.]

Passo 6

Encontre o pé H da perpendicular (projeção de A sobre a reta):
H = P_0 + t\,v = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} +(-1)\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora o reflexo A' é o ponto tal que H é o ponto médio de AA'. Logo
A' = 2H - A.
Compute componente a componente:
2H = 2\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
A' = \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil): confirme que H está no segmento entre A e A' e é o ponto médio. De fato,
\frac{A+A'}{2}=\frac{1}{2}\Bigg(\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\Bigg) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}=H,
como desejado. Também H pertence à reta porque foi construído como P_0+tv.]

Resposta

\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}]

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