(2,0 pt) Determine a separação média das transições rotacionais do HCl e obtenha a distância média da ligação \mathrm{H}-\mathrm{Cl}, sabendo que as linhas espectrais surgem \mathrm{cm} 86 \mathrm{~cm}^{-1} ; 107 \mathrm{cm}^{-1} ; 127 \mathrm{~cm}^{-1} ; 148 \mathrm{~cm}^{-1} e 168,5 \mathrm{~cm}^{-1} e que a primeira transição corresponde a \mathrm{J}=3 \ldots ->\mathrm{J}=4.
Dados:
\mathrm{h}=6,610^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \mathrm{mCl}=35,453 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}
1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{Nm}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}=5.0 \times 10^{22} \mathrm{~cm}^{-1}
I=\mu v^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a separação média das transições rotacionais observadas nas linhas espectrais.
  • A partir dessa informação, obter a distância média da ligação \mathrm{H}-\mathrm{Cl}.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Linhas espectrais (em \mathrm{cm}^{-1}): \;86,\;107,\;127,\;148,\;168{,}5.
  • A primeira transição ( 86\\ \mathrm{cm}^{-1}) corresponde a \;J=3\to4.
  • Constante de Planck: \;h=6{,}6\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Massa molar do \mathrm{Cl}: \;m_{\mathrm{Cl}}=35{,}453\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
  • Conversão aproximada informada: 1\\ \mathrm{J} corresponde a \;5{,}0\times10^{22}\\ \mathrm{cm}^{-1} (não será necessária explicitamente, usarei c e unidades usuais).
  • Vou usar também (porque não foi dada no enunciado) a massa molar do hidrogênio: \;m_{\mathrm{H}}=1{,}008\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
  • Constantes físicas que usarei: velocidade da luz \;c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e número de Avogadro \;N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
O que farei a seguir (só para organizar): (i) calcular a separação média entre linhas; (ii) relacionar essa separação ao parâmetro rotacional \tilde B; (iii) obter o momento de inércia I e a distância de ligação r via I=\mu r^{2}, onde \mu é a massa reduzida.

Passo 2

Calcular as diferenças entre linhas adjacentes para obter a separação entre transições:
\begin{aligned} \Delta_1 &= 107-86 = 21\\ \mathrm{cm^{-1}},\\[4pt] \Delta_2 &= 127-107 = 20\\ \mathrm{cm^{-1}},\\[4pt] \Delta_3 &= 148-127 = 21\\ \mathrm{cm^{-1}},\\[4pt] \Delta_4 &= 168{,}5-148 = 20{,}5\\ \mathrm{cm^{-1}}. \end{aligned}
Separação média (média aritmética dessas diferenças):
\Delta_{\text{média}}=\frac{21+20+21+20{,}5}{4}=\frac{82{,}5}{4}=20{,}625\\ \mathrm{cm^{-1}}.é
Explicação didática curta: em um espectro rotacional de um rotor rígido as linhas consecutivas surgem com espaçamento constante igual a 2\tilde B (veja passo seguinte). Então esse \Delta_{\text{média}}é já nos dá uma estimativa de 2\tilde B.]

Passo 3

Breve aula sobre o modelo que vou usar (rotor rígido, seleção \Delta J=+1):
  • Níveis rotacionais de um diatômico (modelo rígido) em energia (J) valem
E_J=\frac{h^{2}}{8\pi^{2}I}\,J(J+1),
onde I é o momento de inércia e J=0,1,2,\dots.
  • Em unidades de número de onda ( \mathrm{cm^{-1}}) define-se o constante rotacional \tilde B por
\tilde B=\frac{h}{8\pi^{2}cI}\quad(\mathrm{cm^{-1}}).
  • A frequência (em \mathrm{cm^{-1}}) da transição J\to J+1 é
\tilde\nu_{J\to J+1}=2\tilde B\,(J+1).
  • Portanto, linhas consecutivas têm espaçamento constante
\Delta=\tilde\nu_{J+1\to J+2}-\tilde\nu_{J\to J+1}=2\tilde B.
Como o enunciado informou que a primeira linha corresponde a J=3\to4, podemos aproveitar isso para estimar \tilde B com mais precisão fazendo um ajuste linear através da origem usando os pares (x,\tilde\nu) com x=J+1. Isso é: \tilde\nu=2\tilde B\,(J+1). Para um ajuste sem intercepto a melhor estimativa do coeficiente (slope) é
\text{slope}=\frac{\sum_i x_i\,\tilde\nu_i}{\sum_i x_i^{2}},\quad\text{onde }x_i=J_i+1.
Aqui os J atribuídos (pela informação do enunciado) são: para as linhas em ordem 86,107,127,148,168{,}5 temos J=3,4,5,6,7, então x=4,5,6,7,8.
Calculemos:
\begin{aligned} \sum_i x_i\,\tilde\nu_i &=4\cdot86+5\cdot107+6\cdot127+7\cdot148+8\cdot168{,}5\\\ &=344+535+762+1036+1348=4025,\\[4pt] \sum_i x_i^{2}&=4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}=16+25+36+49+64=190. \end{aligned}
Logo a inclinação (que vale 2\tilde B) é
2\tilde B=\frac{4025}{190}=21{,}18421\\ \mathrm{cm^{-1}},
portanto
\tilde B=\frac{21{,}18421}{2}=10{,}5921\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Observação didática: a estimativa por ajuste usa todas as linhas e a condição de origem, ficando mais robusta do que simplesmente dividir a primeira linha por J+1 ou usar só as diferenças.]

Passo 4

Calcular a massa reduzida \mu (necessária para obter o comprimento de ligação):
  • Converter massas molares para massa por molécula (kg):
\begin{aligned} m_{\mathrm{H}} &=\frac{1{,}008\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}}=1{,}674\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},\\[4pt] m_{\mathrm{Cl}} &=\frac{35{,}453\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}}=5{,}887\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}. \end{aligned}
  • Massa reduzida:
\mu=\frac{m_{\mathrm{H}}\,m_{\mathrm{Cl}}}{m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{Cl}}} =\frac{(1{,}674\times10^{-27})(5{,}887\times10^{-26})}{1{,}674\times10^{-27}+5{,}887\times10^{-26}} =1{,}627\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.]

Passo 5

Relacionar \tilde B com o momento de inércia I e calcular I.
Recordando a fórmula (em unidades de \mathrm{cm^{-1}} para \tilde B):
\tilde B=\frac{h}{8\pi^{2}cI}.
Para usar c em \mathrm{m\,s^{-1}} convém passar \tilde B para \mathrm{m^{-1}}:
\tilde B_{\mathrm{(m^{-1})}}=100\,\tilde B_{\mathrm{(cm^{-1})}}.
Portanto
I=\frac{h}{8\pi^{2}c\tilde B_{\mathrm{(m^{-1})}}}.
Substituindo valores ( h=6{,}6\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \tilde B=10{,}5921\\ \mathrm{cm^{-1}}\Rightarrow\tilde B_{\mathrm{(m^{-1})}}=1059{,}21\\ \mathrm{m^{-1}}):
\begin{aligned} I&=\frac{6{,}6\times10^{-34}}{8\pi^{2}\,(3{,}00\times10^{8})\,(1059{,}21)}\\[4pt] &\approx\frac{6{,}6\times10^{-34}}{2{,}5066\times10^{13}}\\[4pt] &\approx 2{,}64\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\,m^{2}}. \end{aligned}
Pequena verificação conceptual: esse valor de I tem ordem de grandeza esperada para uma molécula diatômica leve.]

Passo 6

Calcular a distância média de ligação r usando I=\mu r^{2}:
r=\sqrt{\frac{I}{\mu}} =\sqrt{\frac{2{,}64\times10^{-47}}{1{,}627\times10^{-27}}} =\sqrt{1{,}62\times10^{-20}} \approx 1{,}275\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Converter para angström ( 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}):
r\approx 1{,}275\\ \text{\AA}.

Passo 7

Interpretação final e comentário de incentivo:
  • A separação média entre linhas encontrada é \approx 20{,}625\\ \mathrm{cm^{-1}}, que corresponde bem ao valor obtido por ajuste linear (slope =21{,}184\\ \mathrm{cm^{-1}} para 2\tilde B); em prática usamos o ajuste que levou a \tilde B=10{,}592\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • A partir disso a distância média da ligação \mathrm{H}-\mathrm{Cl} ficou \approx 1{,}275\\ \text{\AA}, compatível com o valor experimental conhecido (por volta de 1{,}27\\ \text{\AA}) — então bate bem, ótimo sinal!
Força aí — já está com uma resposta correta e com os passos que você pode reproduzir na prova.

Resposta

Separação média entre linhas: 20{,}625\\ \mathrm{cm^{-1}}
Distância média da ligação \mathrm{H}-\mathrm{Cl}: r\approx 1{,}275\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=1{,}275\\ \text{\AA}

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