(2,0 pt) Determine a separação média das transições rotacionais do HCl e obtenha a distância média da ligação
, sabendo que as linhas espectrais surgem
e
e que a primeira transição corresponde a
.
Dados:
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a separação média das transições rotacionais observadas nas linhas espectrais.
- A partir dessa informação, obter a distância média da ligação
.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
- Linhas espectrais (em
): . - A primeira transição (
) corresponde a . - Constante de Planck:
. - Massa molar do
: . - Conversão aproximada informada:
corresponde a (não será necessária explicitamente, usarei e unidades usuais). - Vou usar também (porque não foi dada no enunciado) a massa molar do hidrogênio:
. - Constantes físicas que usarei: velocidade da luz
e número de Avogadro .
O que farei a seguir (só para organizar): (i) calcular a separação média entre linhas; (ii) relacionar essa separação ao parâmetro rotacional
; (iii) obter o momento de inércia
e a distância de ligação
via
, onde
é a massa reduzida.
Passo 2
Calcular as diferenças entre linhas adjacentes para obter a separação entre transições:
Separação média (média aritmética dessas diferenças):
Explicação didática curta: em um espectro rotacional de um rotor rígido as linhas consecutivas surgem com espaçamento constante igual a
(veja passo seguinte). Então esse
já nos dá uma estimativa de
.]
Passo 3
Breve aula sobre o modelo que vou usar (rotor rígido, seleção
):
- Níveis rotacionais de um diatômico (modelo rígido) em energia (J) valem
onde
é o momento de inércia e
.
- Em unidades de número de onda (
) define-se o constante rotacional por
- A frequência (em
) da transição é
- Portanto, linhas consecutivas têm espaçamento constante
Como o enunciado informou que a primeira linha corresponde a
, podemos aproveitar isso para estimar
com mais precisão fazendo um ajuste linear através da origem usando os pares
com
. Isso é:
. Para um ajuste sem intercepto a melhor estimativa do coeficiente (slope) é
Aqui os
atribuídos (pela informação do enunciado) são: para as linhas em ordem
temos
, então
.
Calculemos:
Calculemos:
Logo a inclinação (que vale
) é
portanto
Observação didática: a estimativa por ajuste usa todas as linhas e a condição de origem, ficando mais robusta do que simplesmente dividir a primeira linha por
ou usar só as diferenças.]
Passo 4
Calcular a massa reduzida
(necessária para obter o comprimento de ligação):
- Converter massas molares para massa por molécula (kg):
- Massa reduzida:
Passo 5
Relacionar
com o momento de inércia
e calcular
.
Recordando a fórmula (em unidades de
para
):
Para usar
em
convém passar
para
:
Portanto
Substituindo valores (
,
,
):
Pequena verificação conceptual: esse valor de
tem ordem de grandeza esperada para uma molécula diatômica leve.]
Passo 6
Calcular a distância média de ligação
usando
:
Converter para angström (
):
Passo 7
Interpretação final e comentário de incentivo:
- A separação média entre linhas encontrada é
, que corresponde bem ao valor obtido por ajuste linear (slope para ); em prática usamos o ajuste que levou a . - A partir disso a distância média da ligação
ficou , compatível com o valor experimental conhecido (por volta de ) — então bate bem, ótimo sinal!
Força aí — já está com uma resposta correta e com os passos que você pode reproduzir na prova.
Resposta
Separação média entre linhas:
Distância média da ligação :
Distância média da ligação