Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
\left\{4+\operatorname{sen} \frac{1}{2} \pi n\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n = 4 + \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}n\Bigr).
O conteúdo envolvido é análise de sequência numérica: precisamos ver se a_n se aproxima de um único valor quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos observando o comportamento de \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}n\bigr):
  • Para n=1: \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, então a_1=4+1=5.
  • Para n=2: \sin(\pi)=0, então a_2=4+0=4.
  • Para n=3: \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1, então a_3=4-1=3.
  • Para n=4: \sin(2\pi)=0, então a_4=4+0=4.

Passo 3

Observamos que \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}n\bigr) é periódica de período 4, gerando a repetição dos valores 1,0,-1,0,1,0,-1,0,\dots. Consequentemente,
a_n\quad\text{assume ciclicamente}\quad5,4,3,4,5,4,3,4,\dots
como não há aproximação a um único valor quando n\to\infty, a sequência não converge.

Resposta

A sequência diverge.

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