Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
\left\{\frac{\arctan{n}}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \{a_n\} definida por
a_n = \frac{\arctan(n)}{n}
converge ou diverge quando n\to\infty. O conteúdo envolve limite de sequência, comportamento assintótico de funções e uso do Teorema do Confronto para analisar convergência.

Passo 2

Sabemos que \arctan(x) é contínua em \mathbb{R} e que
\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}.
Portanto, conforme n\to\infty, o numerador \arctan(n) se aproxima de \pi/2.

Passo 3

Como o denominador n cresce sem limite, fazemos a desigualdade, válida para todo n\ge1:
0 < \frac{\arctan(n)}{n} < \frac{\pi/2}{n}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{\pi/2}{n}=0,
pelo Teorema do Confronto (Squeeze), resulta que
\lim_{n\to\infty}\frac{\arctan(n)}{n}=0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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