Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache o limite.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes: para cada estamos subtraindo duas frações com o mesmo numerador
e denominadores
e
. O objetivo é estudar o comportamento quando
.
Informações relevantes: para cada
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão juntando as duas frações em uma só (isso facilita ver o comportamento para
grande). Calcule o denominador comum e o numerador resultante:
Passo 3
Agora simplificamos o numerador passo a passo. Observe que as duas parcelas têm
em comum:
Portanto a sequência pode ser reescrita como
Passo 4
Multiplicamos o denominador para ver a forma explícita em termos de
:
Logo a termo geral é
Passo 5
Para estudar o limite quando
usamos uma técnica padrão para frações racionais: dividir numerador e denominador pelo maior poder de
presente (aqui
). Dividindo por
obtemos
Agora aplicamos que
quando
. Pelo limite de uma função contínua sobre a aproximação,
Passo 6
Interpretação didática rápida: quando temos uma razão de polinômios em
com mesmo grau no numerador e no denominador, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente dominante no numerador é
(pois vem de
) e no denominador é
(pois vem de
), dando limite
. Isso é uma maneira rápida de lembrar o resultado para esse tipo de sequência.
Resposta
A sequência converge e
.