Determine se a sequência converge ou diverge, se convergir, ache o limite.
\left(\frac{n^{2}}{2 n-1}-\frac{n^{2}}{2 n+1}\right)_{n=1}^{\infty}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\left(\frac{n^{2}}{2 n-1}-\frac{n^{2}}{2 n+1}\right)_{n=1}^{\infty}
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes: para cada n\in\mathbb{N} estamos subtraindo duas frações com o mesmo numerador n^{2} e denominadores 2n-1 e 2n+1. O objetivo é estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão juntando as duas frações em uma só (isso facilita ver o comportamento para n grande). Calcule o denominador comum e o numerador resultante:
\frac{n^{2}}{2 n-1}-\frac{n^{2}}{2 n+1} =\frac{n^{2}(2n+1)-n^{2}(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador passo a passo. Observe que as duas parcelas têm n^{2} em comum:
n^{2}(2n+1)-n^{2}(2n-1)=n^{2}\big((2n+1)-(2n-1)\big)=n^{2}\cdot 2=2n^{2}.
Portanto a sequência pode ser reescrita como
\frac{2n^{2}}{(2n-1)(2n+1)}.

Passo 4

Multiplicamos o denominador para ver a forma explícita em termos de n^{2}:
(2n-1)(2n+1)=4n^{2}-1.
Logo a termo geral é
a_n=\frac{2n^{2}}{4n^{2}-1}.

Passo 5

Para estudar o limite quando n\to\infty usamos uma técnica padrão para frações racionais: dividir numerador e denominador pelo maior poder de n presente (aqui n^{2}). Dividindo por n^{2} obtemos
a_n=\frac{2}{4-\dfrac{1}{n^{2}}}.
Agora aplicamos que \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty. Pelo limite de uma função contínua sobre a aproximação,
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{2}{4-0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação didática rápida: quando temos uma razão de polinômios em n com mesmo grau no numerador e no denominador, o limite quando n\to\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui o coeficiente dominante no numerador é 2 (pois vem de 2n^{2}) e no denominador é 4 (pois vem de 4n^{2}), dando limite 2/4=1/2. Isso é uma maneira rápida de lembrar o resultado para esse tipo de sequência.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{2 n-1}-\frac{n^{2}}{2 n+1}\right)=\frac{1}{2}.

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