(Integração Direta) Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é soma de três termos —
,
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Propriedade útil (linearidade): a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Ou seja,
Isto nos permite tratar cada termo separadamente, que é mais simples.
Passo 3
Integração do termo
.
Regra que vamos usar: para qualquer constante
,
Motivo rápido: derivando
obtém-se
.
Aplicando essa regra com
e lembrando da constante multiplicativa
, temos
Passo 4
Integração do termo
.
Regra que vamos usar (regra da potência): para
,
Justificativa curta: deriva-se
e obtém-se
pelo teorema da derivada de potência.
Aqui
, então
Passo 5
Integração do termo
(note o sinal negativo na soma original: será subtraído).
Usamos a regra da constante multiplicativa e a regra da potência com
:
Como no integrando original o termo é
, a contribuição final será
.
Passo 6
Agora juntamos as primitivas parciais obtidas (sem ainda adicionar a constante de integração única):
- de
obtemos , - de
obtemos , - de
obtemos .
Portanto uma primitiva combinada (qualquer uma delas difere por uma constante) é
Passo 7
Verificação rápida (cheque didático): derivando
devemos voltar ao integrando.
Derivadas termo a termo:
Derivadas termo a termo:
Somando dá exatamente
, ou seja,
é o integrando — verificação concluída.