(Integração Direta) Resolva \int\left(2 e^{3 x}+x^{3}-4 x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(2 e^{3 x}+x^{3}-4 x\right) d x.
Informações dadas: a função a integrar é soma de três termos — 2 e^{3x}, x^{3} e -4x. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=2 e^{3 x}+x^{3}-4 x.

Passo 2

Propriedade útil (linearidade): a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Ou seja,
\int\left(2 e^{3 x}+x^{3}-4 x\right) d x = \int 2 e^{3 x}\,dx + \int x^{3}\,dx - \int 4 x\,dx.
Isto nos permite tratar cada termo separadamente, que é mais simples.

Passo 3

Integração do termo \int 2 e^{3 x}\,dx.
Regra que vamos usar: para qualquer constante a\neq 0,
\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C.
Motivo rápido: derivando \frac{1}{a}e^{a x} obtém-se \frac{1}{a}\cdot a e^{a x}=e^{a x}.
Aplicando essa regra com a=3 e lembrando da constante multiplicativa 2, temos
\int 2 e^{3 x}\,dx =2\cdot\int e^{3 x}\,dx =2\cdot\frac{1}{3}e^{3 x} =\frac{2}{3}e^{3 x}.

Passo 4

Integração do termo \int x^{3}\,dx.
Regra que vamos usar (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Justificativa curta: deriva-se \frac{x^{n+1}}{n+1} e obtém-se x^{n} pelo teorema da derivada de potência.
Aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.

Passo 5

Integração do termo \int 4 x\,dx (note o sinal negativo na soma original: será subtraído).
Usamos a regra da constante multiplicativa e a regra da potência com n=1:
\int 4 x\,dx =4\cdot\int x\,dx =4\cdot\frac{x^{2}}{2} =2x^{2}.
Como no integrando original o termo é -4x, a contribuição final será -2x^{2}.

Passo 6

Agora juntamos as primitivas parciais obtidas (sem ainda adicionar a constante de integração única):
  • de 2 e^{3x} obtemos \frac{2}{3}e^{3x},
  • de x^{3} obtemos \frac{x^{4}}{4},
  • de -4x obtemos -2x^{2}.
Portanto uma primitiva combinada (qualquer uma delas difere por uma constante) é
F(x)=\frac{2}{3}e^{3x}+\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}.

Passo 7

Verificação rápida (cheque didático): derivando F(x) devemos voltar ao integrando.
Derivadas termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}e^{3x}\right)=\frac{2}{3}\cdot 3 e^{3x}=2 e^{3x},
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=x^{3},
\frac{d}{dx}\left(-2x^{2}\right)=-4x.
Somando dá exatamente 2 e^{3x}+x^{3}-4x, ou seja, F'(x) é o integrando — verificação concluída.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}e^{3x}+\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+C

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