(Movimento e Aceleração) A posição de uma partícula é dada por
.
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(a) Determine os intervalos em que a partícula está acelerando e desacelerando.
(b) Encontre o instante em que a aceleração é nula.
(a) Determine os intervalos em que a partícula está acelerando e desacelerando.
(b) Encontre o instante em que a aceleração é nula.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como
e faz duas perguntas:
(a) Determine os intervalos em que a partícula está acelerando e desacelerando.
(b) Encontre o instante em que a aceleração é nula.
(a) Determine os intervalos em que a partícula está acelerando e desacelerando.
(b) Encontre o instante em que a aceleração é nula.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Nenhuma outra restrição sobre
foi informada (portanto, matematicamente podemos considerar todos os
; em problemas físicos costuma-se usar
, e eu vou comentar esse caso depois).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática e sem pular passos):
- A velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Isto significa que
mede a taxa de variação instantânea da posição — quão rápido (e em que sentido) a partícula se move num dado instante.
- A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja a segunda derivada da posição:
A aceleração mede como a velocidade está mudando (está ficando maior, menor, invertendo sinal, etc.).
- Regra prática para acelerar/desacelerar em uma dimensão: se a velocidade
e a aceleração têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) então o módulo da velocidade está aumentando — dizemos que a partícula está acelerando. Se e têm sinais opostos, o módulo da velocidade está diminuindo — dizemos que está desacelerando. Quando a velocidade é nula naquele instante (mudança de sentido possível); quando a aceleração é nula naquele instante (a velocidade não está mudando instantaneamente).
Passo 3
Calcular a velocidade
aplicando a regra de derivação termo a termo (regra do poder:
):
Podemos fatorar para ver as raízes mais facilmente:
Logo
em
e
.
Passo 4
Calcular a aceleração
como derivada de
:
Fatorando:
Passo 5
Encontrar o instante em que a aceleração é nula (resposta da parte (b) pedida no enunciado):
Resolver :
Resolver
Portanto a aceleração é nula em
.
Passo 6
Analisar o sinal de
(importante para classificar acelerar/desacelerar):
Isto implica:
- Se
então e . - Se
então e . - Em
temos .
Passo 7
Analisar o sinal de
usando a fatoração
. As raízes são
e
. Monte o sinal por intervalos (valor de
em cada intervalo):
- Para
(ex.: ) temos e , produto , então . - Para
(ex.: ) temos e , produto negativo, então . - Para
(ex.: ) temos e , produto positivo, então .
Resumindo:
Passo 8
Combinar sinais de
e
para decidir acelerar ou desacelerar (usar a regra: mesmo sinal → acelerar; sinais opostos → desacelerar).
Analise por intervalos determinados pelas críticas :
Analise por intervalos determinados pelas críticas
-
Intervalo
: aqui (Passo 7) e como temos (Passo 6). Portanto e → sinais opostos → a partícula está desacelerando em . -
Intervalo
: aqui (porque ) e (porque ). Portanto e → mesmos sinais (ambos negativos) → a partícula está acelerando em . -
Intervalo
: aqui (pois ainda ) e (pois ). Então e → sinais opostos → desacelerando em . -
Intervalo
: aqui e . Mesmos sinais (positivos) → acelerando em .
Observação física: se você considerar apenas tempos
(como costuma acontecer em problemas reais), basta intersectar os intervalos acima com
. Nesse caso as conclusões para
seriam:
- Desacelerando em
. - Acelerando em
.
Mas matematicamente, sem restringir, usamos os intervalos indicados no passo anterior.
Resposta
(a) Acelerando em
. Desacelerando em
.
(b) .
(b)