(Movimento e Aceleração) A posição de uma partícula é dada por s(t)=t^{3}-9 t^{2}+24 t+1.
[ label =(\mathrm{h})]
(a) Determine os intervalos em que a partícula está acelerando e desacelerando.
(b) Encontre o instante em que a aceleração é nula.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como s(t)=t^{3}-9t^{2}+24t+1 e faz duas perguntas:
(a) Determine os intervalos em que a partícula está acelerando e desacelerando.
(b) Encontre o instante em que a aceleração é nula.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
s(t)=t^{3}-9t^{2}+24t+1.
Nenhuma outra restrição sobre t foi informada (portanto, matematicamente podemos considerar todos os t\in\mathbb{R}; em problemas físicos costuma-se usar t\ge 0, e eu vou comentar esse caso depois).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática e sem pular passos):
  • A velocidade v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{d}{dt}s(t).
Isto significa que v(t) mede a taxa de variação instantânea da posição — quão rápido (e em que sentido) a partícula se move num dado instante.
  • A aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}s(t).
A aceleração mede como a velocidade está mudando (está ficando maior, menor, invertendo sinal, etc.).
  • Regra prática para acelerar/desacelerar em uma dimensão: se a velocidade v(t) e a aceleração a(t) têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) então o módulo da velocidade está aumentando — dizemos que a partícula está acelerando. Se v(t) e a(t) têm sinais opostos, o módulo da velocidade está diminuindo — dizemos que está desacelerando. Quando v(t)=0 a velocidade é nula naquele instante (mudança de sentido possível); quando a(t)=0 a aceleração é nula naquele instante (a velocidade não está mudando instantaneamente).

Passo 3

Calcular a velocidade v(t) aplicando a regra de derivação termo a termo (regra do poder: \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}):
s(t)=t^{3}-9t^{2}+24t+1 \implies v(t)=\frac{d}{dt}s(t)=3t^{2}-18t+24.
Podemos fatorar para ver as raízes mais facilmente:
v(t)=3\bigl(t^{2}-6t+8\bigr)=3(t-2)(t-4).
Logo v(t)=0 em t=2 e t=4.

Passo 4

Calcular a aceleração a(t) como derivada de v(t):
v(t)=3t^{2}-18t+24 \implies a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=6t-18.
Fatorando:
a(t)=6(t-3).

Passo 5

Encontrar o instante em que a aceleração é nula (resposta da parte (b) pedida no enunciado):
Resolver a(t)=0:
6(t-3)=0 \implies t-3=0 \implies t=3.
Portanto a aceleração é nula em \,t=3.

Passo 6

Analisar o sinal de a(t) (importante para classificar acelerar/desacelerar):
a(t)=6(t-3).
Isto implica:
  • Se t<3 então t-3<0 e a(t)<0.
  • Se t>3 então t-3>0 e a(t)>0.
  • Em t=3 temos a(3)=0.

Passo 7

Analisar o sinal de v(t) usando a fatoração v(t)=3(t-2)(t-4). As raízes são t=2 e t=4. Monte o sinal por intervalos (valor de v em cada intervalo):
  • Para t<2 (ex.: t=0) temos (t-2)<0 e (t-4)<0, produto (t-2)(t-4)>0, então v(t)>0.
  • Para 2<t<4 (ex.: t=3) temos (t-2)>0 e (t-4)<0, produto negativo, então v(t)<0.
  • Para t>4 (ex.: t=5) temos (t-2)>0 e (t-4)>0, produto positivo, então v(t)>0.
    Resumindo:
v(t)>0\\ \text{em}\\ (-\infty,2)\cup(4,\infty),\qquad v(t)<0\\ \text{em}\\ (2,4).

Passo 8

Combinar sinais de v(t) e a(t) para decidir acelerar ou desacelerar (usar a regra: mesmo sinal → acelerar; sinais opostos → desacelerar).
Analise por intervalos determinados pelas críticas t=2,\,t=3,\,t=4:
  • Intervalo (-\infty,2): aqui v(t)>0 (Passo 7) e como t<2<3 temos a(t)<0 (Passo 6). Portanto v>0 e a<0 → sinais opostos → a partícula está desacelerando em (-\infty,2).
  • Intervalo (2,3): aqui v(t)<0 (porque 2<t<4) e a(t)<0 (porque t<3). Portanto v<0 e a<0 → mesmos sinais (ambos negativos) → a partícula está acelerando em (2,3).
  • Intervalo (3,4): aqui v(t)<0 (pois ainda 2<t<4) e a(t)>0 (pois t>3). Então v<0 e a>0 → sinais opostos → desacelerando em (3,4).
  • Intervalo (4,\infty): aqui v(t)>0 e a(t)>0. Mesmos sinais (positivos) → acelerando em (4,\infty).
Observação física: se você considerar apenas tempos t\ge 0 (como costuma acontecer em problemas reais), basta intersectar os intervalos acima com [0,\infty). Nesse caso as conclusões para t\ge 0 seriam:
  • Desacelerando em [0,2)\cup(3,4).
  • Acelerando em (2,3)\cup(4,\infty).
    Mas matematicamente, sem restringir t, usamos os intervalos indicados no passo anterior.

Resposta

(a) Acelerando em (2,3)\cup(4,\infty). Desacelerando em (-\infty,2)\cup(3,4).
(b) t=3.

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