Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
a_{n}=(-1)^{n-1} \frac{n^{4}}{1+n^{2}+n^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=(-1)^{n-1}\,\frac{n^{4}}{1+n^{2}+n^{3}}
e pergunta se ela converge ou diverge. Vamos comparar graus de polinômios no numerador e no denominador para estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Fatoramos n^{3} no denominador:
1 + n^{2} + n^{3} = n^{3}\bigl(n^{-3} + n^{-1} + 1\bigr).
Assim
\frac{n^{4}}{1 + n^{2} + n^{3}} = \frac{n^{4}}{n^{3}\,(n^{-3} + n^{-1} + 1)} = n\;\frac{1}{\,n^{-3} + n^{-1} + 1\,}
e
a_{n} = (-1)^{n-1}\;n\;\frac{1}{\,n^{-3} + n^{-1} + 1\,}.

Passo 3

Quando n\to\infty temos n^{-1}\to 0 e n^{-3}\to 0, logo
\frac{n}{\,n^{-3} + n^{-1} + 1\,}\sim n,
isto é,
|a_{n}|=\frac{n}{\,n^{-3}+n^{-1}+1\,}\to +\infty.

Passo 4

Como |a_{n}|\to\infty, o termo geral não se aproxima de um valor finito (e alterna de sinal com módulo crescente). Portanto a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge (não possui limite).

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