Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
a_{n}=n^{-1 / n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = n^{-1/n}
ou seja, ver se ela tem limite finito quando n\to\infty e, em caso afirmativo, determinar esse limite. O conteúdo principal aqui é limite de sequência com expoente que depende de n. Uma técnica comum é usar logaritmo para “trazer” o expoente para fora.

Passo 2

Começamos observando que a_{n}>0 para todo n, então podemos aplicar logaritmo natural sem problemas. Definimos
\ell_n = \ln(a_{n}) = \ln\bigl(n^{-1/n}\bigr).
Usando propriedades de logaritmo, tiramos o expoente -1/n:
\ell_n = -\frac{1}{n}\,\ln(n).

Passo 3

Agora estudamos o limite de \ell_n quando n\to\infty. Sabemos por crescimento comparado que \ln(n) cresce mais devagar que n, isto é,
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0.
Logo
\lim_{n\to\infty}\ell_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(-\frac{\ln(n)}{n}\Bigr) = 0.

Passo 4

Como \ell_n = \ln(a_n)\to0, aplicamos a função exponencial (contínua) para voltar a a_n:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{\ell_n} = e^{\,0} = 1.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n}=n^{-1/n} converge e seu limite é 1.

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