Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
ou seja, ver se ela tem limite finito quando
e, em caso afirmativo, determinar esse limite. O conteúdo principal aqui é limite de sequência com expoente que depende de
. Uma técnica comum é usar logaritmo para “trazer” o expoente para fora.
Passo 2
Começamos observando que
para todo
, então podemos aplicar logaritmo natural sem problemas. Definimos
Usando propriedades de logaritmo, tiramos o expoente
:
Passo 3
Agora estudamos o limite de
quando
. Sabemos por crescimento comparado que
cresce mais devagar que
, isto é,
Logo
Passo 4
Como
, aplicamos a função exponencial (contínua) para voltar a
:
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.