Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\ln \left(2 n^{2}+1\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \,a_{n}=\ln\!\left(2 n^{2}+1\right)-\ln\!\left(n^{2}+1\right)\, e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. \n
Informações importantes fornecidas:
  • A fórmula geral da sequência é \,a_{n}=\ln\!\left(2 n^{2}+1\right)-\ln\!\left(n^{2}+1\right)\,.
  • A variável n tende a infinito (queremos o comportamento quando n\to\infty). \n
    O que precisa ser respondido:
  • Verificar convergência ou divergência de \,a_n\,.
  • Se convergir, calcular \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Usar a propriedade dos logaritmos que transforma diferença em logaritmo do quociente. Essa propriedade diz que, para x>0 e y>0,
\ln(x)-\ln(y)=\ln\!\left(\frac{x}{y}\right).
No nosso caso, ambos 2n^{2}+1 e n^{2}+1 são positivos para todo n\ge1, logo podemos aplicar a propriedade. Assim,
a_{n}=\ln\!\left(\frac{2 n^{2}+1}{n^{2}+1}\right).

Passo 3

Simplificar a fração dentro do logaritmo dividindo numerador e denominador por n^{2}. Isso é uma técnica padrão para ver o comportamento quando n\to\infty. Fazendo a divisão obtemos:
\frac{2 n^{2}+1}{n^{2}+1}=\frac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Portanto
a_{n}=\ln\!\left(\frac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}\right).

Passo 4

Calcular o limite da razão dentro do logaritmo quando n\to\infty. Observamos que
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0.
Logo, substituindo esse comportamento na expressão da fração,
\lim_{n\to\infty}\frac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}=\frac{2+0}{1+0}=2.
Outra forma de ver isso é observar que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de mesmo grau em n e, nesse caso, a razão tende à razão dos coeficientes líderes, aqui \dfrac{2}{1}=2.

Passo 5

Usar continuidade do logaritmo natural \ln. O fato importante é: se x_{n}\to L e f é contínua em L, então f(x_{n})\to f(L). A função \ln é contínua para argumentos positivos, e o limite encontrado na etapa anterior é 2>0. Portanto podemos trocar limite e logaritmo:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(\frac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}\right)=\ln\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac{2+\dfrac{1}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}\right)=\ln(2).

Passo 6

Conclusão e checagem intuitiva: a sequência converge porque o argumento do logaritmo converge para 2, número positivo, e a função \ln preserva limites por continuidade. Para intuir numericamente, com n=1 \ln(3)-\ln(2)\approx0,405; com n=10 dá aproximadamente \ln(201)-\ln(101)\approx0,6938; \ln 2\approx0,6931. Já dá para ver que os termos se aproximam de \ln 2.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=\ln 2

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