Exemplo extra: 2) (Q-{0}, .) é um grupo ?

Passo 1

O enunciado pergunta se (\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot) é um grupo. As informações dadas são:
  • O conjunto é \mathbb{Q}\setminus\{0\}, isto é, todos os números racionais exceto o zero.
  • A operação é a multiplicação usual entre números racionais, denotada por \cdot.
    O que precisa ser respondido: verificar se esse par (conjunto, operação) satisfaz as propriedades que definem um grupo.

Passo 2

Vamos lembrar exatamente o que é um grupo — isso é importante para a prova. Uma estrutura (G,\star) é um grupo se satisfaz quatro axiomas:
  1. Fechamento: para quaisquer a,b\in G, o resultado a\star b pertence a G.
  2. Associatividade: para quaisquer a,b,c\in G, tem-se (a\star b)\star c = a\star(b\star c).
  3. Elemento neutro: existe e\in G tal que, para todo a\in G, e\star a = a\star e = a.
  4. Inversos: para todo a\in G existe a^{-1}\in G tal que a\star a^{-1} = a^{-1}\star a = e.
Explicando com calma: nas definições acima, a,b,c são elementos quaisquer do conjunto G; e é o elemento neutro (também chamado identidade); e a^{-1} é o inverso de a. No nosso caso concreto vamos verificar essas quatro propriedades para G=\mathbb{Q}\setminus\{0\} com \star=\cdot.

Passo 3

Verificação do fechamento. Tomemos quaisquer a,b\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}. Então existem inteiros p,q,r,s com q\neq0, s\neq0 tais que a=\dfrac{p}{q} e b=\dfrac{r}{s}. O produto é
a\cdot b = \frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}.
Aqui pr e qs são inteiros e qs\neq0, logo \dfrac{pr}{qs}\in\mathbb{Q}. Além disso, como p e r não são ambos zero (na verdade nenhum dos dois pode ser zero simultaneamente porque a\neq0 e b\neq0), o produto não é zero. Portanto a\cdot b\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}. Conclusão: a multiplicação fecha no conjunto.
Exemplo concreto (para fixar): \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}, que é racional e não zero.

Passo 4

Verificação da associatividade. A associatividade da multiplicação é uma propriedade já conhecida dos números racionais (herdada dos inteiros e dos reais): para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Q} vale
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).
Mais intuitivamente, multiplicar dois números e depois multiplicar pelo terceiro dá o mesmo resultado que multiplicar o último par e depois pelo primeiro. Não é preciso recalcular com frações; basta lembrar que a multiplicação em \mathbb{Q} é associativa. Portanto a associatividade vale em \mathbb{Q}\setminus\{0\} também (é uma propriedade que se restringe ao subconjunto).

Passo 5

Existência do elemento neutro. Buscamos e\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} tal que, para todo a\in\mathbb{Q}\setminus\{0\},
e\cdot a = a\quad\text{e}\quad a\cdot e = a.
Na multiplicação o número que faz isso é 1. Observa-se que 1\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} e para todo a temos 1\cdot a = a\cdot 1 = a. Logo o elemento neutro existe e é 1.

Passo 6

Existência de inversos. Para cada a\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} queremos um a^{-1}\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} tal que a\cdot a^{-1}=1. Escrevendo a=\dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e p\neq0, q\neq0, o candidato natural é
a^{-1}=\frac{q}{p}.
Esse número é racional (pois q,p são inteiros e p\neq0 garante denominador não nulo) e não é zero (porque q pode ser zero? não — q\neq0 por hipótese; e p\neq0 por a\neq0). Verificando:
a\cdot a^{-1} = \frac{p}{q}\cdot\frac{q}{p} = 1.
Portanto todo elemento tem inverso no conjunto.
Exemplo concreto: se a=\dfrac{5}{7} então a^{-1}=\dfrac{7}{5}, que é racional e satisfaz a\cdot a^{-1}=1.

Passo 7

Resumo e conclusão: já verificamos os quatro axiomas (fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos). Logo (\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot) é um grupo. Além disso, a multiplicação de racionais é comutativa, isto é, para quaisquer a,b vale a\cdot b = b\cdot a; portanto o grupo é abeliano (comutativo).
Dica de prova curta para a prova: cite a definição de grupo, prove fechamento mostrando que produto de dois racionais não nulos é racional e não nulo, cite que associatividade é herdada da multiplicação nos números, identifique 1 como neutro e mostre que o inverso de \dfrac{p}{q} é \dfrac{q}{p}.

Resposta

Sim. (\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot) é um grupo abeliano.

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