Exemplo extra: 2) (Q-{0}, .) é um grupo ?
Passo 1
O enunciado pergunta se
é um grupo. As informações dadas são:
- O conjunto é
, isto é, todos os números racionais exceto o zero. - A operação é a multiplicação usual entre números racionais, denotada por
.
O que precisa ser respondido: verificar se esse par (conjunto, operação) satisfaz as propriedades que definem um grupo.
Passo 2
Vamos lembrar exatamente o que é um grupo — isso é importante para a prova. Uma estrutura
é um grupo se satisfaz quatro axiomas:
- Fechamento: para quaisquer
, o resultado pertence a . - Associatividade: para quaisquer
, tem-se . - Elemento neutro: existe
tal que, para todo , . - Inversos: para todo
existe tal que .
Explicando com calma: nas definições acima,
são elementos quaisquer do conjunto
;
é o elemento neutro (também chamado identidade); e
é o inverso de
. No nosso caso concreto vamos verificar essas quatro propriedades para
com
.
Passo 3
Verificação do fechamento. Tomemos quaisquer
. Então existem inteiros
com
,
tais que
e
. O produto é
Aqui
e
são inteiros e
, logo
. Além disso, como
e
não são ambos zero (na verdade nenhum dos dois pode ser zero simultaneamente porque
e
), o produto não é zero. Portanto
. Conclusão: a multiplicação fecha no conjunto.
Exemplo concreto (para fixar):
, que é racional e não zero.
Passo 4
Verificação da associatividade. A associatividade da multiplicação é uma propriedade já conhecida dos números racionais (herdada dos inteiros e dos reais): para quaisquer
vale
Mais intuitivamente, multiplicar dois números e depois multiplicar pelo terceiro dá o mesmo resultado que multiplicar o último par e depois pelo primeiro. Não é preciso recalcular com frações; basta lembrar que a multiplicação em
é associativa. Portanto a associatividade vale em
também (é uma propriedade que se restringe ao subconjunto).
Passo 5
Existência do elemento neutro. Buscamos
tal que, para todo
,
Na multiplicação o número que faz isso é
. Observa-se que
e para todo
temos
. Logo o elemento neutro existe e é
.
Passo 6
Existência de inversos. Para cada
queremos um
tal que
. Escrevendo
com
e
, o candidato natural é
Esse número é racional (pois
são inteiros e
garante denominador não nulo) e não é zero (porque
pode ser zero? não —
por hipótese; e
por
). Verificando:
Portanto todo elemento tem inverso no conjunto.
Exemplo concreto: se
então
, que é racional e satisfaz
.
Passo 7
Resumo e conclusão: já verificamos os quatro axiomas (fechamento, associatividade, elemento neutro e existência de inversos). Logo
é um grupo. Além disso, a multiplicação de racionais é comutativa, isto é, para quaisquer
vale
; portanto o grupo é abeliano (comutativo).
Dica de prova curta para a prova: cite a definição de grupo, prove fechamento mostrando que produto de dois racionais não nulos é racional e não nulo, cite que associatividade é herdada da multiplicação nos números, identifique
como neutro e mostre que o inverso de
é
.
Resposta
Sim.
é um grupo abeliano.