Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
a_{n}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2}}
e pede para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo aqui envolve somatório de progressão aritmética e o cálculo de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a_n como um único quociente, reunindo o somatório:
a_{n} = \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a soma dos n primeiros termos da P.A. 1,2,\dots,n é
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
Substituindo em a_n fica
a_{n} = \frac{\tfrac{n(n+1)}{2}}{n^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos essa expressão:
a_{n} = \frac{n(n+1)}{2\,n^{2}} = \frac{n^{2} + n}{2\,n^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}.

Passo 5

Para ver o comportamento quando n\to\infty, observamos que \tfrac{1}{2n}\to 0. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2n}\Bigr) = \tfrac{1}{2} + 0 = \tfrac{1}{2}.
Portanto a sequência converge.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = \tfrac{1}{2}.

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