Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
4+\frac{8}{5}+\frac{16}{25}+\frac{32}{125}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para analizar a série
4 + \frac{8}{5} + \frac{16}{25} + \frac{32}{125} + \cdots
verificando se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é série geométrica, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Reconhecemos que é uma série geométrica cujo primeiro termo é
a_1 = 4
e cuja razão é
r = \frac{\tfrac{8}{5}}{4} = \frac{8}{5}\cdot\frac{1}{4} = \frac{2}{5}.

Passo 3

Para uma série geométrica infinita de razão r, o critério de convergência é \lvert r\rvert<1. Aqui temos
\lvert r\rvert = \bigl\lvert \tfrac{2}{5}\bigr\rvert = \tfrac{2}{5} < 1,
logo a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica infinita convergente é dada por
S = \frac{a_1}{1 - r}.
Substituindo a_1 = 4 e r = \tfrac{2}{5}, obtemos
S = \frac{4}{1 - \tfrac{2}{5}} = \frac{4}{\tfrac{3}{5}} = 4 \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{3}.

Resposta

A série é convergente e sua soma é \tfrac{20}{3}.

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