Comentário didático: escrever a sequência como \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n mostra que ela é do tipo “constante vezes uma potência” — isto é, uma sequência geométrica com razão \dfrac{5}{3}.
Passo 3
Pequena aula sobre sequências geométricas e critérios de convergência:
Uma sequência geométrica tem a forma c\cdot r^{n}, onde c e r são constantes (com n inteiro não-negativo).
O comportamento de r^{n} quando n\to\infty determina a convergência:
Se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty, logo c r^n\to 0.
Se |r|=1, então r^{n} é constante em módulo (se r=1 fica constante; se r=-1 oscila entre 1 e -1).
Se |r|>1, então |r|^{n}\to\infty quando n\to\infty, ou seja, a potência cresce sem limite em módulo; portanto c r^n diverge em módulo (vai para +\infty ou -\infty dependendo do sinal de c e de r).
Justificação simples para |r|>1: a razão entre termos consecutivos de r^n é r com |r|>1, então r^{n+1}=r\cdot r^n é sempre maior em módulo do que r^n; a sequência é multiplicativamente ampliada e cresce sem limite.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
Identificamos c=\dfrac{1}{3} e r=\dfrac{5}{3}.
Note que \dfrac{5}{3}>1, isto é, |r|>1.
Portanto, pela regra anterior, \left(\dfrac{5}{3}\right)^{\!n}\to\infty quando n\to\infty. Como c=\dfrac{1}{3}>0, os termos a_n=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{\!n} também crescem para +\infty.
Passo 5
Para uma justificativa mais formal do desvio para +\infty: queremos mostrar que, dado qualquer M>0, existe N tal que a_n>M para todo n\ge N.
Partimos de
garantimos que para todo n\ge N vale a_n>M. Isso mostra que a sequência é não limitada superiormente e que \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty.
Passo 6
Interpretação final e encorajamento: os termos crescem exponencialmente porque a base \dfrac{5}{3} é maior que 1, então os termos não se aproximam de um número finito — eles explodem para +\infty. Está tudo certo — esse tipo de reconhecimento rápido (colocar na forma c r^n e checar |r|) é uma ferramenta poderosa para usar na prova.