Determine se a sequência converge ou diverge com as devidas justificativas. Se ela convergir, calcule o limite:
a_{n=\frac{5^{n}}{3^{n+1}}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n=\frac{5^{n}}{3^{n+1}},\qquad n\in\mathbb{N},
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, caso converja, calcular o limite. Informações relevantes que temos:
  • A expressão explícita de cada termo está dada por \dfrac{5^{n}}{3^{n+1}}.
  • Todos os termos são positivos (denominador 3^{n+1}>0 para todo n).
  • O que se pede: verificar convergência/divergência e, se houver convergência, encontrar \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Vamos reescrever \,a_n de forma mais clara, fatorando 3^{n+1}=3\cdot 3^{n}:
a_n=\frac{5^{n}}{3^{n+1}}=\frac{5^{n}}{3\cdot 3^{n}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5^{n}}{3^{n}}=\frac{1}{3}\left(\frac{5}{3}\right)^{\!n}.
Comentário didático: escrever a sequência como \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{3}\right)^n mostra que ela é do tipo “constante vezes uma potência” — isto é, uma sequência geométrica com razão \dfrac{5}{3}.

Passo 3

Pequena aula sobre sequências geométricas e critérios de convergência:
  • Uma sequência geométrica tem a forma c\cdot r^{n}, onde c e r são constantes (com n inteiro não-negativo).
  • O comportamento de r^{n} quando n\to\infty determina a convergência:
    • Se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty, logo c r^n\to 0.
    • Se |r|=1, então r^{n} é constante em módulo (se r=1 fica constante; se r=-1 oscila entre 1 e -1).
    • Se |r|>1, então |r|^{n}\to\infty quando n\to\infty, ou seja, a potência cresce sem limite em módulo; portanto c r^n diverge em módulo (vai para +\infty ou -\infty dependendo do sinal de c e de r).
  • Justificação simples para |r|>1: a razão entre termos consecutivos de r^n é r com |r|>1, então r^{n+1}=r\cdot r^n é sempre maior em módulo do que r^n; a sequência é multiplicativamente ampliada e cresce sem limite.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Identificamos c=\dfrac{1}{3} e r=\dfrac{5}{3}.
  • Note que \dfrac{5}{3}>1, isto é, |r|>1.
  • Portanto, pela regra anterior, \left(\dfrac{5}{3}\right)^{\!n}\to\infty quando n\to\infty. Como c=\dfrac{1}{3}>0, os termos a_n=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{\!n} também crescem para +\infty.

Passo 5

Para uma justificativa mais formal do desvio para +\infty: queremos mostrar que, dado qualquer M>0, existe N tal que a_n>M para todo n\ge N.
Partimos de
a_n=\frac{1}{3}\left(\frac{5}{3}\right)^{\!n}>M \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\frac{5}{3}\right)^{\!n}>3M.
Aplicando logaritmo (função crescente), obtemos
n>\frac{\ln(3M)}{\ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)}.
Assim, escolhendo por exemplo
N=\left\lceil \frac{\ln(3M)}{\ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)}\right\rceil,
garantimos que para todo n\ge N vale a_n>M. Isso mostra que a sequência é não limitada superiormente e que \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty.

Passo 6

Interpretação final e encorajamento: os termos crescem exponencialmente porque a base \dfrac{5}{3} é maior que 1, então os termos não se aproximam de um número finito — eles explodem para +\infty. Está tudo certo — esse tipo de reconhecimento rápido (colocar na forma c r^n e checar |r|) é uma ferramenta poderosa para usar na prova.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty

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