1. A característica força-deflexão de uma mola é descrita por F=500 x+2 x^{3}, onde a força (F) está em Newton e a deflexão ( x ) está em milímetros. Encontre (a) a constante de mola linearizada para \mathrm{x}=10 mm e (b) as forças da mola para \mathrm{x}=9 \mathrm{~mm} e \mathrm{x}=11 \mathrm{~mm} usando a constante de mola linearizada. Também determine o erro percentual nas forças da mola encontradas no item (b) em relação às forças determinadas para a mola não linearizada.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (dados que aparecem no enunciado):
  • A característica força-deflexão da mola é dada por F(x)=500\,x+2\,x^{3}, onde F está em \text{N} e x em \text{mm}.
  • Pede-se:
    (a) a constante de mola linearizada para \,x=10\\ \text{mm};
    (b) as forças da mola para \,x=9\\ \text{mm} e \,x=11\\ \text{mm} usando a constante de mola linearizada;
    (c) o erro percentual das forças encontradas em (b) em relação às forças exatas da mola não linearizada.

Passo 2

Entendendo o que significa “linearizar” aqui (aula rápida e intuitiva).
  • A função F(x) é não linear (tem termo em x^{3}). Para simplificar perto de um ponto x_{0} é comum aproximar F(x) pela reta tangente em x_{0}. Essa aproximação é a linearização (ou aproximação de primeira ordem).
  • A forma da linearização em torno de x_{0} é:
F_{\text{lin}}(x)\approx F(x_{0})+k_{\text{lin}}\,(x-x_{0}),
onde k_{\text{lin}} é a derivada de F em x_{0}, isto é a inclinação da reta tangente.
  • A derivada F'(x) representa a taxa de variação instantânea de F em relação a x; aqui ela tem interpretação física de rigidez (constante de mola instantânea) com unidade \text{N/mm}.

Passo 3

Calcular a derivada de F(x) e avaliar em x_{0}=10\\ \text{mm}.
  • Derivada:
F'(x)=\frac{d}{dx}\big(500\,x+2\,x^{3}\big)=500+6\,x^{2}.
  • Avaliando em x_{0}=10\\ \text{mm}:
k_{\text{lin}}=F'(10)=500+6\cdot(10)^{2}=500+6\cdot100=500+600=1100.
  • Unidade: k_{\text{lin}}=1100\\ \text{N/mm}.

Passo 4

Calcular o valor de F no ponto de linearização (necessário para usar a reta tangente).
  • Calcular F(10) com a expressão original:
F(10)=500\cdot10+2\cdot(10)^{3}=5000+2\cdot1000=5000+2000=7000.
  • Unidade: F(10)=7000\\ \text{N}.
  • Assim a linearização em torno de x_{0}=10\\ \text{mm} fica:
F_{\text{lin}}(x)=7000+1100\,(x-10).

Passo 5

Usar a linearização para obter as forças aproximadas em x=9\\ \text{mm} e x=11\\ \text{mm}.
  • Para x=9\\ \text{mm} (diferença \Delta x=9-10=-1\\ \text{mm}):
F_{\text{lin}}(9)=7000+1100\cdot(-1)=7000-1100=5900\\ \text{N}.
  • Para x=11\\ \text{mm} (diferença \Delta x=11-10=+1\\ \text{mm}):
F_{\text{lin}}(11)=7000+1100\cdot(+1)=7000+1100=8100\\ \text{N}.

Passo 6

Calcular as forças exatas (não linearizadas) em x=9\\ \text{mm} e x=11\\ \text{mm} para comparar.
  • Para x=9\\ \text{mm}:
F(9)=500\cdot9+2\cdot9^{3}=4500+2\cdot729=4500+1458=5958\\ \text{N}.
  • Para x=11\\ \text{mm}:
F(11)=500\cdot11+2\cdot11^{3}=5500+2\cdot1331=5500+2662=8162\\ \text{N}.

Passo 7

Calcular o erro percentual das aproximações lineares em relação aos valores exatos.
  • Definição que vamos usar (erro relativo percentual): \dfrac{F_{\text{lin}}-F_{\text{exato}}}{F_{\text{exato}}}\times100\%. Se o resultado for negativo, a aproximação subestimou o valor real.
  • Para x=9\\ \text{mm}:
\text{erro}_{9}=\frac{5900-5958}{5958}\times100\%=\frac{-58}{5958}\times100\%\approx-0{,}974\%.
  • Para x=11\\ \text{mm}:
\text{erro}_{11}=\frac{8100-8162}{8162}\times100\%=\frac{-62}{8162}\times100\%\approx-0{,}760\%.
  • Interpretação rápida: a linearização acerca de 10\\ \text{mm} subestima levemente a força em \pm1\\ \text{mm} do ponto, com erro menor que 1\% nesses casos — bom sinal para aproximações locais.

Resposta

(a) k_{\text{lin}}=1100\\ \text{N/mm}
(b) F_{\text{lin}}(9\\ \text{mm})=5900\\ \text{N}
F_{\text{lin}}(11\\ \text{mm})=8100\\ \text{N}
Erro percentual em x=9\\ \text{mm}: -0{,}974\%
Erro percentual em x=11\\ \text{mm}: -0{,}760\%

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