- A característica força-deflexão de uma mola é descrita por
, onde a força
está em Newton e a deflexão (
) está em milímetros. Encontre (a) a constante de mola linearizada para
mm e (b) as forças da mola para
e
usando a constante de mola linearizada. Também determine o erro percentual nas forças da mola encontradas no item (b) em relação às forças determinadas para a mola não linearizada.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (dados que aparecem no enunciado):
- A característica força-deflexão da mola é dada por
, onde está em e em . - Pede-se:
(a) a constante de mola linearizada para;
(b) as forças da mola parae usando a constante de mola linearizada;
(c) o erro percentual das forças encontradas em (b) em relação às forças exatas da mola não linearizada.
Passo 2
Entendendo o que significa “linearizar” aqui (aula rápida e intuitiva).
- A função
é não linear (tem termo em ). Para simplificar perto de um ponto é comum aproximar pela reta tangente em . Essa aproximação é a linearização (ou aproximação de primeira ordem). - A forma da linearização em torno de
é:
onde
é a derivada de
em
, isto é a inclinação da reta tangente.
- A derivada
representa a taxa de variação instantânea de em relação a ; aqui ela tem interpretação física de rigidez (constante de mola instantânea) com unidade .
Passo 3
Calcular a derivada de
e avaliar em
.
- Derivada:
- Avaliando em
:
- Unidade:
.
Passo 4
Calcular o valor de
no ponto de linearização (necessário para usar a reta tangente).
- Calcular
com a expressão original:
- Unidade:
. - Assim a linearização em torno de
fica:
Passo 5
Usar a linearização para obter as forças aproximadas em
e
.
- Para
(diferença ):
- Para
(diferença ):
Passo 6
Calcular as forças exatas (não linearizadas) em
e
para comparar.
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Calcular o erro percentual das aproximações lineares em relação aos valores exatos.
- Definição que vamos usar (erro relativo percentual):
. Se o resultado for negativo, a aproximação subestimou o valor real. - Para
:
- Para
:
- Interpretação rápida: a linearização acerca de
subestima levemente a força em do ponto, com erro menor que nesses casos — bom sinal para aproximações locais.
Resposta
(a)
(b)
Erro percentual em :
Erro percentual em :
(b)
Erro percentual em
Erro percentual em