Determine se a sequência converge ou diverge com as devidas justificativas. Se ela convergir, calcule o limite:
a_{n=\frac{3+36 n^{2}}{-9 n^{2}+2}}

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
a_{n}=\frac{3+36 n^{2}}{-9 n^{2}+2}.
O que se pede:
  • Determinar se a sequência converge ou diverge.
  • Se convergir, calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n, vamos preparar a expressão para ver o comportamento quando n\to\infty. Uma técnica padrão para sequências que são quocientes de polinômios em n é dividir numerador e denominador pelo maior grau de n presente (aqui é n^{2}).
Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos:
a_{n}=\frac{3+36 n^{2}}{-9 n^{2}+2} =\frac{n^{2}\left(\dfrac{3}{n^{2}}+36\right)}{n^{2}\left(-9+\dfrac{2}{n^{2}}\right)} =\frac{\dfrac{3}{n^{2}}+36}{-9+\dfrac{2}{n^{2}}}.
Agora, usamos fatos básicos sobre limites de sequências simples: \displaystyle\frac{3}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty e \displaystyle\frac{2}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, porque n^{2} cresce sem limite e k/n^{2} vai a zero. Portanto, ao passar para o limite na expressão acima, os termos com 1/n^{2} desaparecem.
Tomando o limite em ambos os lados, temos:
\lim_{n\to\infty} a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{3}{n^{2}}+36}{-9+\dfrac{2}{n^{2}}} =\frac{0+36}{-9+0}=\frac{36}{-9}=-4.
Também verificamos que o denominador tende a -9\neq0, então não há problema de divisão por zero no limite. Como o limite existe e é um valor finito ( -4), a sequência converge.

Passo 3

Interpretação e regra geral (dica prática para a prova): quando a_n é quociente de polinômios em n e os graus do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos têm grau 2), o limite \lim_{n\to\infty} a_n existe e é a razão dos coeficientes líderes (aqui 36 e -9), o que dá 36/(-9)=-4. Isso serve como atalho em exames.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-4

Exercícios relacionados