Determine se a sequência converge ou diverge com as devidas justificativas. Se ela convergir, calcule o limite:
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
O que se pede:
- Determinar se a sequência converge ou diverge.
- Se convergir, calcular o limite
.
Passo 2
Para determinar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite
, vamos preparar a expressão para ver o comportamento quando
. Uma técnica padrão para sequências que são quocientes de polinômios em
é dividir numerador e denominador pelo maior grau de
presente (aqui é
).
Dividindo numerador e denominador por
obtemos:
Agora, usamos fatos básicos sobre limites de sequências simples:
quando
e
quando
, porque
cresce sem limite e
vai a zero. Portanto, ao passar para o limite na expressão acima, os termos com
desaparecem.
Tomando o limite em ambos os lados, temos:
Também verificamos que o denominador tende a
, então não há problema de divisão por zero no limite. Como o limite existe e é um valor finito (
), a sequência converge.
Passo 3
Interpretação e regra geral (dica prática para a prova): quando
é quociente de polinômios em
e os graus do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos têm grau
), o limite
existe e é a razão dos coeficientes líderes (aqui
e
), o que dá
. Isso serve como atalho em exames.
Resposta
A sequência converge e