Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge.
Informações dadas: a sequência é composta pelos termos para
.
Objetivo explícito: decidir convergência/divergência e, se convergir, encontrar o limite .
Informações dadas: a sequência é composta pelos termos
Objetivo explícito: decidir convergência/divergência e, se convergir, encontrar o limite
Passo 2
Estratégia útil e por quê: ao lidar com sequências que têm a forma
, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto — isso facilita o cálculo do limite. Defino
e considero
. Usando a propriedade
, obtenho
Agora vou estudar
. Se esse limite existir e for igual a
, então pela continuidade da função exponencial teremos
.
Passo 3
Avaliação do limite de
: uso o limite clássico
Explico rapidinho por que isso vale (método via regra de L’Hôpital): quando
temos a forma indeterminada
; derivando numerador e denominador obtemos
, que ao avaliar em
dá
. Logo o limite é
.
Agora faço a substituição , que tende a
quando
. Reescrevo
como
Agora faço a substituição
Aplicando o limite e o resultado anterior segue que
Passo 4
Conclusão sobre
: como
e todos os termos
são positivos (pois
), podemos aplicar a função exponencial contínua para obter
Portanto a sequência converge.
Passo 5
Observação alternativa (mais direta e muito usada): fazendo a substituição
obtemos
Como se sabe o limite clássico
, segue que o termo entre colchetes tende a
e, portanto,
tende a
. Essa via é equivalente à do logaritmo e às vezes é mais rápida de enxergar.
Passo 6
Intuição numérica rápida (só para sentir o número):
, então
. Pequenos
já dão valores próximos a isso, e conforme
cresce os termos se aproximam mais de
. Força aí — a ideia-chave que você deve lembrar para provas é: usar logaritmo ou o limite clássico
.
Resposta
Converge para
.