Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\left(1+\frac{1}{5 n}\right)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \left(\left(1+\frac{1}{5 n}\right)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} converge ou diverge.
Informações dadas: a sequência é composta pelos termos \displaystyle a_{n}=\left(1+\frac{1}{5n}\right)^{n} para n\in\mathbb{N}.
Objetivo explícito: decidir convergência/divergência e, se convergir, encontrar o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Estratégia útil e por quê: ao lidar com sequências que têm a forma \displaystyle (\text{algo})^{n}, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto — isso facilita o cálculo do limite. Defino
a_{n}=\left(1+\frac{1}{5n}\right)^{n},
e considero \displaystyle \ln a_{n}. Usando a propriedade \ln(x^{n})=n\ln x, obtenho
\ln a_{n}=n\ln\!\left(1+\frac{1}{5n}\right).
Agora vou estudar \displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln a_{n}. Se esse limite existir e for igual a L, então pela continuidade da função exponencial teremos \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=e^{L}.

Passo 3

Avaliação do limite de \ln a_{n}: uso o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Explico rapidinho por que isso vale (método via regra de L’Hôpital): quando x\to 0 temos a forma indeterminada \frac{0}{0}; derivando numerador e denominador obtemos \frac{1/(1+x)}{1}, que ao avaliar em x=0 1. Logo o limite é 1.
Agora faço a substituição x=\frac{1}{5n}, que tende a 0 quando n\to\infty. Reescrevo \ln a_{n} como
\ln a_{n}=n\ln\!\left(1+\frac{1}{5n}\right) =\frac{1}{5}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{5n}\right)}{\frac{1}{5n}}.
Aplicando o limite e o resultado anterior segue que
\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}.

Passo 4

Conclusão sobre a_{n}: como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln a_{n}=\frac{1}{5} e todos os termos a_{n} são positivos (pois 1+\frac{1}{5n}>0), podemos aplicar a função exponencial contínua para obter
\lim_{n\to\infty} a_{n}= \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}}=e^{\frac{1}{5}}.
Portanto a sequência converge.

Passo 5

Observação alternativa (mais direta e muito usada): fazendo a substituição m=5n obtemos
a_{n}=\left(1+\frac{1}{5n}\right)^{n} =\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{\frac{1}{5}}.
Como se sabe o limite clássico \displaystyle \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}=e, segue que o termo entre colchetes tende a e e, portanto, a_{n} tende a e^{1/5}. Essa via é equivalente à do logaritmo e às vezes é mais rápida de enxergar.

Passo 6

Intuição numérica rápida (só para sentir o número): \displaystyle e\approx 2,71828, então \displaystyle e^{1/5}=e^{0,2}\approx 1,22140. Pequenos n já dão valores próximos a isso, e conforme n cresce os termos se aproximam mais de \displaystyle e^{1/5}. Força aí — a ideia-chave que você deve lembrar para provas é: usar logaritmo ou o limite clássico \left(1+\tfrac{1}{m}\right)^{m}\to e.

Resposta

Converge para \displaystyle e^{\frac{1}{5}}.

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