e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Informações relevantes que temos explícitas no enunciado:
O índice n é um número natural: n\in\mathbb{N}.
O fator racional é \frac{2n+3}{n^{2}+n} (numerador polinomial de grau 1, denominador polinomial de grau 2).
Aparece o termo trigonométrico \sin(n\pi).
A partir daqui vamos investigar o valor de \sin(n\pi) e o comportamento do produto inteiro para decidir convergência.
Passo 2
Vamos analisar \sin(n\pi) para n\in\mathbb{N}. Lembrete básico sobre a função seno:
A função \sin(x) tem zeros exatamente nos pontos x=k\pi, com k\in\mathbb{Z} (ou seja, nos múltiplos inteiros de \pi).
Isso vem da definição geométrica/analítica do seno: \sin(0)=0, \sin(\pi)=0, e \sin é periódica de período 2\pi, então \sin(k\pi)=0 para qualquer inteiro k.
Como n é inteiro natural, n\pi é um múltiplo inteiro de \pi. Portanto, para todo n\in\mathbb{N} vale
\sin(n\pi)=0.
Passo 3
Substituindo \sin(n\pi)=0 na expressão de a_n, obtemos para todo n\in\mathbb{N}:
a_n=\frac{2n+3}{n^{2}+n}\cdot 0 = 0.
Ou seja, a sequência (a_n) é identicamente nula: todos os termos são exatamente 0.
Passo 4
Se uma sequência tem todos os termos iguais a uma constante c (aqui c=0), dizemos que ela é constante e converge para essa constante. Mais formalmente, usando a definição de limite: para qualquer \varepsilon>0, temos |a_n-0|=0<\varepsilon para todo n, logo \lim_{n\to\infty} a_n=0. Portanto a sequência converge e seu limite é 0.
Passo 5
Comentário didático alternativo (útil se você encontrar variações do problema): mesmo que não soubéssemos que \sin(n\pi) é exatamente 0, poderíamos usar que |\sin(n\pi)|\le 1 sempre e observar que
Como o numerador tem grau menor que o denominador, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n^{2}+n}=0. Pelo teorema do confronto (squeeze), isso também implicaria \lim_{n\to\infty}a_n=0. Essa abordagem é útil quando o fator trigonométrico não zera exatamente, mas é limitado.