Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede que aponte se a sequência
converge ou diverge, e, caso convirja, determine o seu limite.
Informações dadas: a expressão do termo geral e que
é inteiro positivo (
).
Informações dadas: a expressão do termo geral
Passo 2
Definimos explicitamente o termo geral da sequência para manipular com clareza:
O objetivo é estudar o comportamento de
quando
.
Passo 3
Uma técnica padrão para limites de razões de polinômios em
é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador (aqui é
). Fazendo isso obtemos uma forma em que aparecem termos que tendem a zero claramente:
Passo 4
Agora analisamos os limites dos termos que aparecem nessa expressão. Para
vale que:
Justificativa simples: para qualquer potência positiva
temos
porque o denominador cresce sem limite e torna a fração arbitrariamente pequena.
Passo 5
Pela regra do limite do quociente (quando o limite do denominador é diferente de zero), aplicamos o limite termo a termo na expressão de
:
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 6
Para dar uma segunda verificação mais “inequacional” (útil em provas), podemos mostrar uma cota que force o limite a ser
. Para
temos
e também, para
,
pois
. Então
Como
, pelo Teorema do Confronto segue que
. Isso dá uma prova alternativa e bem concreta.
Passo 7
Conclusão final e um empurrãozinho: a sequência converge; o denominador cresce com potência
enquanto o numerador cresce no máximo como
, por isso o quociente tende a zero. Você já pode anotar esse tipo de regra rápida para a prova: se o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador, o limite é
. Força aí — tá dominado!
Resposta
Converge,