Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\frac{2-3 n^{2}}{5 n^{3}+4 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede que aponte se a sequência
\left(\frac{2-3 n^{2}}{5 n^{3}+4 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}
converge ou diverge, e, caso convirja, determine o seu limite.
Informações dadas: a expressão do termo geral a_{n}=\dfrac{2-3 n^{2}}{5 n^{3}+4 n} e que n é inteiro positivo ( n\in\mathbb{N}).

Passo 2

Definimos explicitamente o termo geral da sequência para manipular com clareza:
a_{n}=\frac{2-3 n^{2}}{5 n^{3}+4 n}.
O objetivo é estudar o comportamento de a_{n} quando n\to\infty.

Passo 3

Uma técnica padrão para limites de razões de polinômios em n é dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente no denominador (aqui é n^{3}). Fazendo isso obtemos uma forma em que aparecem termos que tendem a zero claramente:
a_{n}=\frac{\dfrac{2}{n^{3}}-\dfrac{3}{n}}{5+\dfrac{4}{n^{2}}}.

Passo 4

Agora analisamos os limites dos termos que aparecem nessa expressão. Para n\to\infty vale que:
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{3}}=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n}=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{4}{n^{2}}=0.
Justificativa simples: para qualquer potência positiva p temos \lim_{n\to\infty}1/n^{p}=0 porque o denominador cresce sem limite e torna a fração arbitrariamente pequena.

Passo 5

Pela regra do limite do quociente (quando o limite do denominador é diferente de zero), aplicamos o limite termo a termo na expressão de a_{n}:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{0-0}{5+0}=0.
Portanto a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 6

Para dar uma segunda verificação mais “inequacional” (útil em provas), podemos mostrar uma cota que force o limite a ser 0. Para n\ge 1 temos
|2-3n^{2}|\le 3n^{2}+2,
e também, para n\ge 1,
5n^{3}+4n \ge n^{3},
pois 5n^{3}+4n - n^{3}=4n^{3}+4n=4n(n^{2}+1)\ge 0. Então
|a_{n}|\le\frac{3n^{2}+2}{n^{3}}=\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{3}}\le\frac{5}{n}.
Como \lim_{n\to\infty}5/n=0, pelo Teorema do Confronto segue que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Isso dá uma prova alternativa e bem concreta.

Passo 7

Conclusão final e um empurrãozinho: a sequência converge; o denominador cresce com potência n^{3} enquanto o numerador cresce no máximo como n^{2}, por isso o quociente tende a zero. Você já pode anotar esse tipo de regra rápida para a prova: se o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador, o limite é 0. Força aí — tá dominado!

Resposta

Converge, \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2-3 n^{2}}{5 n^{3}+4 n}=0

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