Determine se a sequência converge ou diverge:
\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\quad\text{com}\quad a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
\text{para cada }n\in\mathbb{N},\quad a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}.
Pergunta explícita: a sequência \left(a_{n}\right) tem limite quando n\to\infty? Se sim, qual é esse limite?

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): uma técnica padrão para lidar com sequências do tipo \left(1+\frac{1}{n}\right)^{cn} é aplicar o logaritmo natural, estudar o limite do logaritmo e, em seguida, usar a continuidade da exponencial para voltar ao termo original. Vou usar isso porque transforma potências com n no expoente em produtos mais manejáveis. Antes de aplicar, lembro duas propriedades simples e úteis:
\text{(i)}\quad \ln\bigl(x^{y}\bigr)=y\ln(x)\quad\text{quando }x>0.
\text{(ii)}\quad\text{se }b_{n}\to L\text{ e }f\text{ é contínua, então }f(b_{n})\to f(L).éíã
A função \exp é a inversa contínua de \ln, então, se eu mostrar que \ln(a_{n})\to L, então a_{n}\to e^{L}.

Passo 3

Calculo o logaritmo natural de a_{n} usando a propriedade (i):
\ln(a_{n})=\ln\!\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}\right)=2n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para entender o comportamento de \ln(a_{n}) quando n\to\infty, é conveniente escrever isso como uma razão em que aparece \ln(1+x)/x. Observe que
2n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=2\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}.
Defina x=\frac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to 0^{+}. Assim estudar 2\cdot\frac{\ln(1+1/n)}{1/n} é equivalente a estudar 2\cdot\frac{\ln(1+x)}{x} quando x\to 0^{+}.

Passo 4

Agora preciso do limite fundamental
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Vou provar esse limite de forma elementar (sem usar série de Taylor), usando uma desigualdade obtida pela integração. Para x>-1 temos
\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
Se x>0, então para t\in[0,x] vale \frac{1}{1+x}\le \frac{1}{1+t}\le 1. Integrando em t de 0 a x obtemos
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x}\,dt \le \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt \le \int_{0}^{x}1\,dt.
Isso dá
\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)\le x.
Dividindo tudo por x>0,
\frac{1}{1+x}\le \frac{\ln(1+x)}{x}\le 1.
Ao tomar x\to 0^{+}, o lado esquerdo tende a 1 e o lado direito é 1. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
A mesma conclusão vale ao aproximar por x\to 0^{-} (com cuidado no intervalo de definição), mas para nós interessa x\to 0^{+} já que x=1/n>0.

Passo 5

Aplicando o resultado do Passo 4 ao nosso caso: como x=\frac{1}{n}\to 0^{+} quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=1.
Multiplicando por 2,
\lim_{n\to\infty}2\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=2.
Mas o lado esquerdo é exatamente \lim_{n\to\infty}\ln(a_{n}) (ver Passo 3). Logo
\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n})=2.

Passo 6

Usando a continuidade da função exponencial (inversa do logaritmo), se \ln(a_{n})\to 2 então
a_{n}=\exp\bigl(\ln(a_{n})\bigr)\to \exp(2)=e^{2}.
Portanto a sequência converge e seu limite é e^{2}. Um comentário intuitivo: como \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e, faz sentido que \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=\bigl((1+1/n)^{n}\bigr)^{2}\to e^{2}.

Passo 7

Um pequeno número para intuir: e\approx 2{,}71828, então e^{2}\approx 7{,}38906. Para n grande, a_{n} já estará perto desse valor; por exemplo n=100 dá um valor bem aproximado a 7{,}389.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=e^{2}.

Exercícios relacionados