Determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta explícita: a sequência
tem limite quando
? Se sim, qual é esse limite?
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): uma técnica padrão para lidar com sequências do tipo
é aplicar o logaritmo natural, estudar o limite do logaritmo e, em seguida, usar a continuidade da exponencial para voltar ao termo original. Vou usar isso porque transforma potências com
no expoente em produtos mais manejáveis. Antes de aplicar, lembro duas propriedades simples e úteis:
A função
é a inversa contínua de
, então, se eu mostrar que
, então
.
Passo 3
Calculo o logaritmo natural de
usando a propriedade (i):
Para entender o comportamento de
quando
, é conveniente escrever isso como uma razão em que aparece
. Observe que
Defina
. Quando
temos
. Assim estudar
é equivalente a estudar
quando
.
Passo 4
Agora preciso do limite fundamental
Vou provar esse limite de forma elementar (sem usar série de Taylor), usando uma desigualdade obtida pela integração. Para
temos
Se
, então para
vale
. Integrando em
de
a
obtemos
Isso dá
Dividindo tudo por
,
Ao tomar
, o lado esquerdo tende a
e o lado direito é
. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue
A mesma conclusão vale ao aproximar por
(com cuidado no intervalo de definição), mas para nós interessa
já que
.
Passo 5
Aplicando o resultado do Passo 4 ao nosso caso: como
quando
, temos
Multiplicando por
,
Mas o lado esquerdo é exatamente
(ver Passo 3). Logo
Passo 6
Usando a continuidade da função exponencial (inversa do logaritmo), se
então
Portanto a sequência converge e seu limite é
. Um comentário intuitivo: como
, faz sentido que
.
Passo 7
Um pequeno número para intuir:
, então
. Para
grande,
já estará perto desse valor; por exemplo
dá um valor bem aproximado a
.
Resposta
A sequência converge e