Seja r: [t1, t2] -> R^3 a função posição de uma partícula de massa m sujeita a um campo de forças F: Dom(F) subset R^3 -> R^3, onde Dom(F) é um conjunto aberto e a imagem de r está incluída em Dom(F). Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
F(r(t)) = m * d^2r(t)/dt^2
Se C é a curva representada pela função r, justifique os seguintes fatos: A variação da energia cinética entre t1 e t2 é igual à integral de linha de F = vetor(F) ao longo da curva C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma partícula com massa se movendo no espaço sob a ação de uma força . A posição da partícula em cada instante é dada por . A questão quer que a gente demonstre que a variação da energia cinética da partícula entre os tempos e é igual à integral de linha da força ao longo da trajetória percorrida pela partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton e conceitos de cálculo, como integrais e derivadas.

Passo 2

Vamos começar lembrando a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual ao produto da massa dela pela aceleração:
Aqui, é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.

Passo 3

A energia cinética de uma partícula é dada por:
onde é a velocidade da partícula. A variação da energia cinética entre e será:

Passo 4

Agora, vamos analisar a integral de linha da força ao longo da curva . A integral de linha é dada por:
Substituindo pela expressão da Segunda Lei de Newton:
Como , podemos reescrever a integral como:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
E isso é igual à derivada em relação ao tempo de:
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Integrando essa expressão, obtemos:
Isso é exatamente a variação da energia cinética :

Resposta

Assim, demonstramos que a variação da energia cinética entre e é igual à integral de linha da força ao longo da trajetória :

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